Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Come costruisce l'algoritmo di Prim un albero ricoprente minimo?

  1. ARimuove l'arco più costoso finché non restano cicli
  2. BOrdina tutti gli archi per peso e aggiunge ciascuno di essi a meno che non formi un ciclo nella foresta
  3. CFa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
  4. DEsegue una visita in ampiezza e conserva l'albero BFS
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la differenza tra un problema indecidibile e uno intrattabile?

  1. APer un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento
  2. BI problemi indecidibili sono in NP, mentre quelli intrattabili sono in P
  3. CEntrambi significano che il problema non ha alcun algoritmo
  4. DI problemi intrattabili non si possono risolvere con alcun algoritmo, mentre quelli indecidibili richiedono solo tempo esponenziale
3.Strutture datiMedia

Una visita in ordine (in-order) di un albero binario di ricerca visita le chiavi in:

  1. AOrdine crescente
  2. BOrdine sempre decrescente
  3. COrdine di inserimento
  4. DOrdine per livelli
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura permette di calcolare il massimo di ogni finestra di dimensione k di un array in tempo totale O(n)?

  1. AUna deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
  2. BUn min-heap ricostruito per ogni finestra
  3. CUna lista concatenata semplice degli elementi della finestra
  4. DUn array ordinato aggiornato con spostamenti
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 8 vertici e 9 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 8|E| = 9
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
812415118281415ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Prim, con una coda di priorità degli archi di attraversamento, richiede O(E log V) con uno heap binario.

Risposta

C · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

Perché è questa la risposta

Il problema della fermata non ha alcun algoritmo; un problema NP-difficile come il TSP si può risolvere con la forza bruta, solo non in un tempo polinomiale noto.

Risposta

A · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento
3.Strutture dati

Risposta: A · Ordine crescente

Perché è questa la risposta

Visitare il sottoalbero sinistro, poi il nodo e poi il sottoalbero destro restituisce le chiavi del BST in ordine.

Risposta

A · Ordine crescente
4.Strutture dati

Risposta: A · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore

Perché è questa la risposta

La testa della deque è sempre il massimo della finestra; ogni indice entra ed esce dalla deque una sola volta, quindi il lavoro è lineare.

Risposta

A · Una deque che contiene indici in ordine decrescente di valore
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 2

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

8 − 1 = 7

Lati da togliere

k = 9 − 7 = 2

Risposta

k = 2
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 20

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 8
B (8): C: 20, D: 12, G: 16
D (12): E: 23, F: 20
G (16)
C (20)
F (20): E: 22
E (22)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 20

Risposta

d(F) = 20

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