Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

  1. AL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
  2. BL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
  3. CGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi
  4. DL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si classifica il problema del commesso viaggiatore?

  1. AÈ in P perché l'algoritmo di Dijkstra lo risolve visitando ogni città una sola volta
  2. BLa versione decisionale è in P ma quella di ottimizzazione è NP-completa
  3. CÈ indecidibile
  4. DLa versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(n log n)
  2. BO(1)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
4.Strutture datiDifficile

Senza unione per rango né compressione dei cammini, qual è il costo nel caso peggiore di una singola find in una struttura union-find con n elementi?

  1. AO(n)
  2. BO(α(n))
  3. CO(1)
  4. DO(log n)
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da A a D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

A · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile

Perché è questa la risposta

"Esiste un giro di lunghezza al massimo k?" è NP-completo; trovare il giro più breve è NP-difficile, perché è almeno altrettanto difficile.

Risposta

D · La versione decisionale è NP-completa e la versione di ottimizzazione è NP-difficile
3.Strutture dati

Risposta: D · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

D · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Le unioni ingenue possono collegare gli alberi in una lunga catena, quindi find può dover seguire n − 1 puntatori al genitore; le due euristiche la rendono quasi costante.

Risposta

A · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 22

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 44 = 2(L + 12) − 2
L = 22

Risposta

L = 22

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)AD = 2·0 + 1·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 = 2

Risposta

N = 2

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