Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Circa quanti confronti richiede nel caso peggiore la ricerca binaria su un array ordinato di 1,000,000 di elementi?

  1. ACirca 20
  2. BCirca 500,000
  3. CCirca 1,000
  4. DCirca 100
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come rileva l'algoritmo di Bellman–Ford un ciclo di peso negativo raggiungibile dalla sorgente?

  1. AConta i cicli con una visita in profondità
  2. BEsegue due volte l'algoritmo di Dijkstra e confronta i due risultati delle distanze
  3. CControlla se qualche arco ha peso negativo
  4. DDopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
3.Strutture datiMedia

In una tabella hash con indirizzamento aperto, qual è il massimo fattore di carico possibile?

  1. A1
  2. B2
  3. C0,5
  4. DNon c'è un massimo
4.Strutture datiDifficile

Perché in un filtro di Bloom standard non si possono semplicemente eliminare gli elementi azzerandone i bit?

  1. AQuei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
  2. BI filtri di Bloom memorizzano gli elementi completi, che una volta sottoposti a hash non si possono più ritrovare
  3. CI bit di un filtro di Bloom non si possono modificare dopo la creazione
  4. DL'eliminazione porterebbe il tasso di falsi positivi al 100%
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1311169841ABCDE

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 5|E| = 7
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Circa 20

Perché è questa la risposta

220 ≈ 1,048,576, quindi dopo circa 20 dimezzamenti resta un solo elemento.

Risposta

A · Circa 20
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato

Perché è questa la risposta

Tutte le vere distanze minime si trovano entro V − 1 turni; se un arco può ancora essere migliorato, deve esistere un ciclo negativo.

Risposta

D · Dopo V − 1 turni controlla se qualche arco può ancora essere rilassato
3.Strutture dati

Risposta: A · 1

Perché è questa la risposta

Con l'indirizzamento aperto tutte le chiavi sono memorizzate nella tabella stessa, quindi n non può superare m; con il concatenamento separato il fattore di carico può essere maggiore di 1.

Risposta

A · 1
4.Strutture dati

Risposta: A · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi

Perché è questa la risposta

Azzerare un bit condiviso farebbe sembrare assente un altro elemento; i filtri di Bloom a conteggio (counting Bloom filter) usano contatori invece di bit per permettere l'eliminazione.

Risposta

A · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 3

Vertici dispari

A, E → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 24

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

BE (1): prendi
DE (4): prendi
CE (8): prendi
BD (9): salta, chiude un ciclo
AC (11): prendi

Peso totale

W = 1 + 4 + 8 + 11 = 24

Risposta

W = 24

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