Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa significa che un problema ha una sottostruttura ottima?

  1. AUna soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
  2. BIl problema ha esattamente una soluzione ottima, condivisa da ogni sottoproblema
  3. CIl problema si può risolvere in tempo costante
  4. DOgni sottoproblema ha la stessa dimensione
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Prendere entrambi gli estremi di ogni arco di un matching massimale dà una copertura dei vertici. Quanto è buona questa copertura?

  1. ADi qualità ignota rispetto all'ottimo
  2. BSempre una copertura dei vertici minima
  3. CAl massimo log n volte il minimo
  4. DAl massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B11
  3. C14
  4. D24
4.Strutture datiDifficile

La struttura union-find (insiemi disgiunti) con unione per rango e compressione dei cammini ha un costo ammortizzato per operazione di:

  1. AO(n²)
  2. BO(n)
  3. CO(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
  4. DEsattamente O(log n)
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K6? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K6
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
1216144211181913ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 9
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

Perché è questa la risposta

La sottostruttura ottima è necessaria sia agli algoritmi greedy sia alla programmazione dinamica per produrre risposte corrette.

Risposta

A · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima

Perché è questa la risposta

Gli archi del matching non condividono vertici, quindi l'ottimo ha bisogno di almeno un vertice per arco, mentre questo metodo ne prende due: una 2-approssimazione.

Risposta

D · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
3.Strutture dati

Risposta: C · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

C · 14
4.Strutture dati

Risposta: C · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante

Perché è questa la risposta

Con entrambe le ottimizzazioni, le operazioni richiedono un tempo ammortizzato O(α(n)); α(n) ≤ 4 per qualsiasi n realistico.

Risposta

C · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 60

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Risposta

H = 60
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 47

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

CE (2): prendi
BD (4): prendi
DE (11): prendi
AB (12): prendi
BE (13): salta, chiude un ciclo
BC (14): salta, chiude un ciclo
AC (16): salta, chiude un ciclo
DF (18): prendi

Peso totale

W = 2 + 4 + 11 + 12 + 18 = 47

Risposta

W = 47

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