Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa misura l'analisi ammortizzata?

AIl costo della singola operazione più costosa in un punto qualsiasi della sequenza
BIl costo di un algoritmo sull'input migliore
CIl costo atteso su input casuali
DIl costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la differenza tra un problema indecidibile e uno intrattabile?

AI problemi intrattabili non si possono risolvere con alcun algoritmo, mentre quelli indecidibili richiedono solo tempo esponenziale
BPer un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento
CI problemi indecidibili sono in NP, mentre quelli intrattabili sono in P
DEntrambi significano che il problema non ha alcun algoritmo

3.Strutture datiMedia

In una coda circolare memorizzata in un array di capacità n, come si calcola la posizione successiva all'indice i?

Ai + 1
B(i + 1) mod n
C(i − 1) mod n
D2i + 1

4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

AO(log n)
BO(m)
CO(1 + α), dove α = n / m
DO(n)

5.Teoria dei grafiMedia

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6

1Circuito euleriano
2Cammino euleriano, nessun circuito
3nessuna delle due

6.Teoria dei grafiDifficile

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 9

W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

L'analisi ammortizzata distribuisce il costo di rare operazioni costose su molte operazioni economiche, dando una media garantita per qualsiasi sequenza.

Risposta

D · Il costo medio per operazione su una sequenza di operazioni nel caso peggiore

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

Perché è questa la risposta

Il problema della fermata non ha alcun algoritmo; un problema NP-difficile come il TSP si può risolvere con la forza bruta, solo non in un tempo polinomiale noto.

Risposta

B · Per un problema indecidibile non esiste alcun algoritmo valido per tutti gli input; uno intrattabile ne ha uno, ma è troppo lento

3.Strutture dati

Risposta: B · (i + 1) mod n

Perché è questa la risposta

L'operazione modulo riporta l'indice n − 1 a 0, così l'array viene riutilizzato senza spostare elementi.

Risposta

B · (i + 1) mod n

4.Strutture dati

Risposta: C · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

C · O(1 + α), dove α = n / m

5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

B, C → 2

Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 56

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AB (1): prendi

EF (5): prendi

DF (7): prendi

BC (12): prendi

AC (14): salta, chiude un ciclo

GC (15): prendi

BD (16): prendi

Peso totale

W = 1 + 5 + 7 + 12 + 15 + 16 = 56

Risposta

W = 56

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