Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(n) ha come soluzione:

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quali sono i costi in tempo e spazio del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con un ciclo che conserva solo gli ultimi due valori?

  1. ATempo O(log n) e spazio O(n)
  2. BTempo O(2ⁿ) e spazio O(1)
  3. CTempo O(n) e spazio O(1)
  4. DTempo O(n) e spazio O(n)
3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

  1. AA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
  2. BA rendere la lista ordinata
  3. CA memorizzare il numero di elementi
  4. DA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà mantiene ogni B-albero perfettamente bilanciato?

  1. AOgni nodo ha esattamente due figli
  2. BLe chiavi sono memorizzate solo nella radice
  3. CTutte le foglie sono alla stessa profondità
  4. DOgni nodo memorizza una sola chiave
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 15 vertici e 26 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 15|E| = 26
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
913161881011ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice E. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4.

partenza: Ek = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Risposta

B · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Tempo O(n) e spazio O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni passo richiede solo i due valori precedenti, quindi la tabella del metodo bottom-up può essere sostituita da due variabili.

Risposta

C · Tempo O(n) e spazio O(1)
3.Strutture dati

Risposta: D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

D · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture dati

Risposta: C · Tutte le foglie sono alla stessa profondità

Perché è questa la risposta

I nodi pieni si dividono verso l'alto e l'albero diventa più alto solo quando si divide la radice, quindi tutte le foglie restano sempre allo stesso livello.

Risposta

C · Tutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

15 − 1 = 14

Lati da togliere

k = 26 − 14 = 12

Risposta

k = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AB

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. CE (8)
2. DE (10)
3. BE (11)
4. AB (9)

lato numero 4

AB

Risposta

lato AB

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