Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa significa che un problema ha una sottostruttura ottima?

  1. AOgni sottoproblema ha la stessa dimensione
  2. BIl problema si può risolvere in tempo costante
  3. CUna soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
  4. DIl problema ha esattamente una soluzione ottima, condivisa da ogni sottoproblema
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Prendere entrambi gli estremi di ogni arco di un matching massimale dà una copertura dei vertici. Quanto è buona questa copertura?

  1. AAl massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
  2. BSempre una copertura dei vertici minima
  3. CAl massimo log n volte il minimo
  4. DDi qualità ignota rispetto all'ottimo
3.Strutture datiMedia

In un heap binario memorizzato in un array a partire dall'indice 0, dove si trova il genitore del nodo all'indice i?

  1. AAll'indice ⌊i / 2⌋ + 1
  2. BAll'indice i − 1
  3. CAll'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DAll'indice 2i + 1
4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

  1. ALa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket
  2. BNon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma
  3. CLa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
  4. DLa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
109112748913ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

Perché è questa la risposta

La sottostruttura ottima è necessaria sia agli algoritmi greedy sia alla programmazione dinamica per produrre risposte corrette.

Risposta

C · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima

Perché è questa la risposta

Gli archi del matching non condividono vertici, quindi l'ottimo ha bisogno di almeno un vertice per arco, mentre questo metodo ne prende due: una 2-approssimazione.

Risposta

A · Al massimo il doppio della dimensione di una copertura dei vertici minima
3.Strutture dati

Risposta: C · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Perché è questa la risposta

I figli di i sono a 2i + 1 e 2i + 2, quindi il genitore di i è ⌊(i − 1) / 2⌋; con indici a partire da 1 è ⌊i / 2⌋.

Risposta

C · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Strutture dati

Risposta: C · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

C · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vertici dispari

B, C, D, E → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 15

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 10
B (10): C: 19, D: 11
D (11): E: 18, F: 15, G: 20
F (15)
E (18)
C (19)
G (20)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 15

Risposta

d(F) = 15

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