Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo di Bellman–Ford su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(E log V)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(V + E)
  4. DO(V × E)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. ASolo quel problema passerebbe in P
  2. BOgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
  3. CIl problema della fermata diventerebbe decidibile
  4. DTutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
3.Strutture datiMedia

A che cosa serve un nodo sentinella (fittizio) in una lista concatenata?

  1. AA impedire che la lista cresca oltre un numero massimo fisso di nodi
  2. BA semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
  3. CA memorizzare il numero di elementi
  4. DA rendere la lista ordinata
4.Strutture datiDifficile

Devi conservare i k valori più piccoli di un flusso di n numeri usando O(k) memoria. Quale approccio funziona in tempo O(n log k)?

  1. AUn max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
  2. BUna coda FIFO degli ultimi k valori
  3. CUn min-heap che contiene tutti gli n valori, da cui alla fine si estraggono i k più piccoli
  4. DUn array ordinato di tutti gli n valori
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 32 × deg 44 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
666131318677ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(V × E)

Perché è questa la risposta

Ciascuno dei V − 1 turni rilassa tutti gli E archi, da cui O(VE); in cambio gestisce pesi negativi degli archi.

Risposta

D · O(V × E)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

B · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: B · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda

Perché è questa la risposta

Con una sentinella ogni nodo reale ha un predecessore, quindi inserire o eliminare in testa non richiede una gestione speciale.

Risposta

B · A semplificare il codice eliminando i casi particolari in testa o in coda
4.Strutture dati

Risposta: A · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

Perché è questa la risposta

La radice del max-heap è il più grande valore conservato; ogni nuovo valore più piccolo la sostituisce in O(log k), quindi l'heap contiene sempre i k valori più piccoli visti finora.

Risposta

A · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 20

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 38 = 2(L + 10) − 2
L = 20

Risposta

L = 20

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 25

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 6, C: 6
B (6): D: 19
C (6): E: 19, G: 13
G (13)
D (19): F: 27
E (19): F: 25
F (25)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 25

Risposta

d(F) = 25

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