Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo standard di programmazione dinamica per la sottosequenza comune più lunga di stringhe di lunghezze m e n?

  1. AO(2m+n)
  2. BO(mn log n)
  3. CO(mn)
  4. DO(m + n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Il problema della fermata dimostra che:

  1. AOgni programma prima o poi si ferma
  2. BI cicli andrebbero evitati
  3. CAlcuni programmi girano più velocemente su computer più veloci, quindi la terminazione dipende dall'hardware
  4. DNessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. AGli heap non contengono mai più di 100 elementi
  2. BÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
  3. CGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
  4. DTutte le chiavi di un heap sono uguali
4.Strutture datiDifficile

Per ogni elemento di un array vuoi il successivo elemento maggiore alla sua destra, in tempo totale O(n). Quale struttura aiuta?

  1. AUna pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
  2. BUna tabella hash di tutti gli elementi
  3. CUna coda che contiene ogni coppia di elementi
  4. DUn albero binario di ricerca ricostruito per ogni elemento
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
14142101271ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(mn)

Perché è questa la risposta

La tabella ha (m + 1)(n + 1) celle e ciascuna si calcola in O(1) dalle vicine.

Risposta

C · O(mn)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma

Perché è questa la risposta

Turing dimostrò che il problema della fermata è indecidibile: supporre che esista un decisore porta a una contraddizione con un programma che fa l'opposto.

Risposta

D · Nessun algoritmo può decidere, per ogni programma e ogni input, se il programma si ferma
3.Strutture dati

Risposta: B · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

B · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: A · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta

Perché è questa la risposta

Scorrendo da sinistra a destra, si estrae ogni elemento della pila minore di quello corrente (l'elemento corrente è la loro risposta), poi lo si inserisce; ogni elemento si sposta al massimo due volte.

Risposta

A · Una pila che conserva gli elementi in attesa della loro risposta
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 1, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

A, C → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 10

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 14, C: 1
C (1): E: 3
E (3): D: 13, F: 10, B: 4
B (4): D: 8
D (8)
F (10)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 10

Risposta

d(F) = 10

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