Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: (j = 1; while j < n: j = j × 2)?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe P è corretta?

  1. AProblemi che si possono risolvere in parallelo
  2. BProblemi che richiedono tempo esponenziale su ogni computer
  3. CProblemi le cui soluzioni si possono verificare ma mai trovare in tempo polinomiale
  4. DProblemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
3.Strutture datiMedia

Quale tipo di dato astratto usa l'algoritmo di Dijkstra per scegliere il prossimo vertice da elaborare?

  1. AUna coda FIFO
  2. BUna coda con priorità di minimo
  3. CUn insieme senza ordinamento
  4. DUna pila
4.Strutture datiDifficile

Perché i database usano spesso B+-alberi anziché semplici B-alberi per gli indici?

  1. AI B+-alberi non devono essere bilanciati
  2. BI B+-alberi memorizzano i dati solo nella radice
  3. CTutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo
  4. DI B+-alberi usano nodi interni binari, il che riduce le letture da disco
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 10 vertici e 18 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 10|E| = 18
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il ciclo interno viene eseguito circa log₂ n volte per ciascuna delle n iterazioni esterne, da cui O(n log n).

Risposta

D · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

P contiene i problemi decisionali con un algoritmo deterministico in tempo polinomiale, come verificare se un grafo è connesso.

Risposta

D · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: B · Una coda con priorità di minimo

Perché è questa la risposta

Una coda con priorità di minimo, di solito un heap binario, restituisce in modo efficiente il vertice non visitato con la distanza minima.

Risposta

B · Una coda con priorità di minimo
4.Strutture dati

Risposta: C · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo

Perché è questa la risposta

In un B+-albero i nodi interni servono solo a guidare la ricerca e le foglie sono collegate in ordine di chiave, quindi un'interrogazione su intervallo trova la prima chiave e poi scorre lungo le foglie.

Risposta

C · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 9

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

10 − 1 = 9

Lati da togliere

k = 18 − 9 = 9

Risposta

k = 9
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 4

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 0 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 0 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)EE = 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 1·1 = 4

Risposta

N = 4

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