Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale affermazione su una funzione ricorsiva senza un caso base raggiungibile è corretta?

  1. AIl compilatore la trasforma sempre in un ciclo che termina in modo sicuro
  2. BViene eseguita in tempo O(1)
  3. CRestituisce automaticamente 0
  4. DContinua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. ACrescono allo stesso ritmo
  2. B2ⁿ cresce più velocemente di n!
  3. Cn! è O(n²)
  4. Dn! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture datiMedia

Quanti nodi ha un albero binario perfetto di altezza h, con l'altezza contata in archi?

  1. A2h
  2. B2h+1 − 1
  3. Ch2
  4. D2h + 1
4.Strutture datiDifficile

Perché i B-alberi (B-tree) sono usati nei database e nei file system?

  1. AIl loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
  2. BUsano meno memoria di qualsiasi array, quindi l'intero indice sta sempre nella memoria centrale
  3. CMemorizzano i dati in modo non ordinato
  4. DNon richiedono ribilanciamento
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
12102231251211111ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

Perché è questa la risposta

Senza caso base la ricorsione non si ferma mai; in pratica la memoria per gli stack frame si esaurisce e il programma va in crash.

Risposta

D · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: B · 2h+1 − 1

Perché è questa la risposta

La somma 1 + 2 + 4 + ... + 2h dà 2h+1 − 1; per esempio, l'altezza 2 dà 7 nodi.

Risposta

B · 2h+1 − 1
4.Strutture dati

Risposta: A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco

Perché è questa la risposta

I B-alberi memorizzano molte chiavi per nodo, quindi l'altezza è ridotta e servono poche letture di blocchi per ogni ricerca; i B+-alberi collegano inoltre le foglie per le scansioni per intervallo.

Risposta

A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 19

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 12, C: 10
C (10): E: 13, G: 11
G (11)
B (12): D: 14
E (13): F: 25
D (14): F: 19
F (19)

Cammino minimo

A → B → D → F
d(F) = 19

Risposta

d(F) = 19

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