Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. AIl merge sort è già O(n)
  2. BLa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
  3. CIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  4. DI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale algoritmo trova un albero ricoprente minimo aggiungendo ripetutamente l'arco più economico che non forma un ciclo?

  1. AAlgoritmo di Dijkstra
  2. BAlgoritmo di Prim a partire da un nodo
  3. CFloyd-Warshall
  4. DAlgoritmo di Kruskal
3.Strutture datiMedia

Qual è il costo di inserire un elemento al centro di un array di n elementi?

  1. AO(n²), perché ogni elemento si sposta n volte
  2. BO(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati
  3. CO(log n), per via della ricerca binaria
  4. DO(1), perché l'indice è noto
4.Strutture datiDifficile

Quale struttura dati permette una cache LRU (least recently used) con get e put in O(1)?

  1. ASolo un albero binario di ricerca
  2. BSolo uno stack
  3. CUn singolo array ordinato
  4. DUna hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
148166143ABCDE

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice C. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4.

partenza: Ck = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

D · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Algoritmo di Kruskal

Perché è questa la risposta

Kruskal ordina gli archi per peso e li aggiunge se collegano componenti diverse; Prim fa crescere un unico albero a partire da un vertice iniziale.

Risposta

D · Algoritmo di Kruskal
3.Strutture dati

Risposta: B · O(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati

Perché è questa la risposta

Tutti gli elementi dopo il punto di inserimento si spostano di una posizione a destra, il che richiede un tempo proporzionale a n.

Risposta

B · O(n), perché gli elementi successivi devono essere spostati
4.Strutture dati

Risposta: D · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

La hash map trova i nodi in O(1) e la lista doppiamente concatenata sposta in testa gli elementi acceduti ed espelle dal fondo in O(1).

Risposta

D · Una hash map combinata con una lista doppiamente concatenata
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 22

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 40 = 2(L + 10) − 2
L = 22

Risposta

L = 22

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato DE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AC (4)
2. AB (1)
3. BE (3)
4. DE (14)

lato numero 4

DE

Risposta

lato DE

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