Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un algoritmo greedy (goloso):

  1. AUsa solo la ricorsione
  2. BFornisce sempre la soluzione ottima
  3. CCompie la scelta localmente migliore a ogni passo
  4. DProva ogni soluzione possibile
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe P è corretta?

  1. AProblemi che richiedono tempo esponenziale su ogni computer
  2. BProblemi le cui soluzioni si possono verificare ma mai trovare in tempo polinomiale
  3. CProblemi che si possono risolvere in parallelo
  4. DProblemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Strutture datiDifficile

Perché i database usano spesso B+-alberi anziché semplici B-alberi per gli indici?

  1. AI B+-alberi usano nodi interni binari, il che riduce le letture da disco
  2. BTutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo
  3. CI B+-alberi non devono essere bilanciati
  4. DI B+-alberi memorizzano i dati solo nella radice
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
91512737891ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 5; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 5
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

Perché è questa la risposta

Gli algoritmi greedy sono veloci e ottimi per alcuni problemi (ad es. Dijkstra, codifica di Huffman) ma non in generale (ad es. il problema del resto con alcuni sistemi di monete).

Risposta

C · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

P contiene i problemi decisionali con un algoritmo deterministico in tempo polinomiale, come verificare se un grafo è connesso.

Risposta

D · Problemi decisionali risolvibili da un algoritmo deterministico in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: D · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

D · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: B · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo

Perché è questa la risposta

In un B+-albero i nodi interni servono solo a guidare la ricerca e le foglie sono collegate in ordine di chiave, quindi un'interrogazione su intervallo trova la prima chiave e poi scorre lungo le foglie.

Risposta

B · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 19

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 41 = 2(L + 12) − 2
L = 19

Risposta

L = 19

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: E

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 9, C: 15
2. B (9): D: 21, G: 16
3. C (15)
4. G (16): E: 17
5. E (17): F: 20
6. F (20)
7. D (21)

passo 5

E

Risposta

E

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