Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

È corretto dire che un algoritmo O(n²) è anche O(n³)?

  1. ANo, perché l'O grande deve indicare sempre l'esatto tasso di crescita della funzione
  2. BNo, perché per n grande n³ è minore di n²
  3. CSì, ma solo se n è minore di 100
  4. DSì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per quale variante dello zaino la regola greedy "prendi gli oggetti in ordine di valore per peso" dà sempre una risposta ottima?

  1. ALo zaino 0/1, in cui gli oggetti si devono prendere sempre interi
  2. BLo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
  3. CNessuna delle due varianti
  4. DEntrambe le varianti
3.Strutture datiMedia

Qual è l'altezza nel caso peggiore di un albero binario di ricerca con n nodi se le chiavi vengono inserite in ordine?

  1. Alog₂ n
  2. B√n
  3. Cn (diventa una lista concatenata)
  4. D1
4.Strutture datiDifficile

Senza unione per rango né compressione dei cammini, qual è il costo nel caso peggiore di una singola find in una struttura union-find con n elementi?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(α(n))
  4. DO(log n)
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
119467813152ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³

Perché è questa la risposta

L'O grande è un limite superiore, quindi l'affermazione è vera ma non stretta; Θ(n²) indica il tasso di crescita esatto.

Risposta

D · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere

Perché è questa la risposta

Quando gli oggetti si possono dividere, prendere prima il rapporto migliore è ottimo; nello zaino 0/1 un oggetto con rapporto alto può impedire una combinazione migliore, quindi serve la programmazione dinamica.

Risposta

B · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture dati

Risposta: C · n (diventa una lista concatenata)

Perché è questa la risposta

Gli inserimenti ordinati creano un albero degenere di altezza n, rendendo le ricerche O(n). Gli alberi bilanciati evitano questo problema.

Risposta

C · n (diventa una lista concatenata)
4.Strutture dati

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

Le unioni ingenue possono collegare gli alberi in una lunga catena, quindi find può dover seguire n − 1 puntatori al genitore; le due euristiche la rendono quasi costante.

Risposta

A · O(n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 13

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 11, C: 9
C (9): E: 15, G: 10
G (10): D: 15, E: 12
B (11)
E (12): F: 13
F (13)
D (15)

Cammino minimo

A → C → G → E → F
d(F) = 13

Risposta

d(F) = 13

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