Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

  1. AL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
  2. BGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi
  3. CL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
  4. DL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale della costruzione di un heap binario da n elementi non ordinati con il metodo bottom-up?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(n²)
3.Strutture datiMedia

In un heap binario memorizzato in un array a partire dall'indice 0, dove si trova il genitore del nodo all'indice i?

  1. AAll'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  2. BAll'indice i − 1
  3. CAll'indice 2i + 1
  4. DAll'indice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Strutture datiDifficile

Quale garanzia danno le regole degli alberi rosso-neri sull'altezza di un albero con n chiavi?

  1. AL'altezza è al massimo log2 n + 1
  2. BL'altezza è al massimo n / 2
  3. CL'altezza è al massimo 2 log2(n + 1)
  4. DL'altezza è esattamente log2 n
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 12
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
8714121010147128ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 6; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

D · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n)

Perché è questa la risposta

Sommando i costi di discesa (sift-down) su tutti i livelli si ottiene una serie convergente, quindi heapify viene eseguito in tempo lineare.

Risposta

B · O(n)
3.Strutture dati

Risposta: A · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Perché è questa la risposta

I figli di i sono a 2i + 1 e 2i + 2, quindi il genitore di i è ⌊(i − 1) / 2⌋; con indici a partire da 1 è ⌊i / 2⌋.

Risposta

A · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Strutture dati

Risposta: C · L'altezza è al massimo 2 log2(n + 1)

Perché è questa la risposta

Ogni cammino ha lo stesso numero di nodi neri e i nodi rossi non possono essere adiacenti, quindi il cammino più lungo è al massimo il doppio del più corto, il che dà un'altezza O(log n).

Risposta

C · L'altezza è al massimo 2 log2(n + 1)
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 4, deg(D) = 4, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 4

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: D

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 8, C: 7
2. C (7): E: 19, G: 19
3. B (8): D: 22, G: 15
4. G (15)
5. E (19): F: 33
6. D (22): F: 32
7. F (32)

passo 6

D

Risposta

D

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms