Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo di Bellman–Ford su un grafo con V vertici ed E archi?

  1. AO(V × E)
  2. BO(V³ × E)
  3. CO(E log V)
  4. DO(V + E)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa ha stabilito il teorema di Cook–Levin?

  1. AIl problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
  2. BP è diverso da NP
  3. COgni problema NP si può risolvere in tempo esponenziale
  4. DIl problema della fermata è indecidibile
3.Strutture datiMedia

Quale condizione di bilanciamento mantiene un albero AVL in ogni nodo?

  1. ATutte le foglie sono esattamente alla stessa profondità
  2. BI due sottoalberi di ogni nodo contengono esattamente lo stesso numero di nodi
  3. COgni nodo è colorato di rosso o di nero
  4. DLe altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà mantiene ogni B-albero perfettamente bilanciato?

  1. ALe chiavi sono memorizzate solo nella radice
  2. BOgni nodo ha esattamente due figli
  3. COgni nodo memorizza una sola chiave
  4. DTutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 34 × deg 43 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in D? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(V × E)

Perché è questa la risposta

Ciascuno dei V − 1 turni rilassa tutti gli E archi, da cui O(VE); in cambio gestisce pesi negativi degli archi.

Risposta

A · O(V × E)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo

Perché è questa la risposta

Cook e Levin dimostrarono indipendentemente che ogni problema in NP si riduce a SAT in tempo polinomiale, quindi SAT fu il primo problema NP-completo noto.

Risposta

A · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
3.Strutture dati

Risposta: D · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1

Perché è questa la risposta

Il fattore di bilanciamento (altezza sinistra − altezza destra) deve essere −1, 0 o 1; le rotazioni lo ripristinano dopo inserimenti e cancellazioni.

Risposta

D · Le altezze dei sottoalberi sinistro e destro differiscono al massimo di 1
4.Strutture dati

Risposta: D · Tutte le foglie sono alla stessa profondità

Perché è questa la risposta

I nodi pieni si dividono verso l'alto e l'albero diventa più alto solo quando si divide la radice, quindi tutte le foglie restano sempre allo stesso livello.

Risposta

D · Tutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 13

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 31 = 2(L + 10) − 2
L = 13

Risposta

L = 13

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)DD = 0·0 + 0·0 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 1·1 = 2

Risposta

N = 2

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