Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n log n)
  3. CΩ(log n)
  4. DΩ(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

22n è in O(2ⁿ)?

  1. ASì, perché i fattori costanti nell'esponente si ignorano sempre nell'O grande
  2. BNo, perché 22n cresce più lentamente di 2ⁿ
  3. CNo, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
  4. DSì, perché sono entrambi esponenziali
3.Strutture datiMedia

Un'applicazione ha bisogno di ricerche veloci, ma deve anche elencare le chiavi in ordine e rispondere a interrogazioni su intervalli. Quale struttura è la più adatta?

  1. AUna pila
  2. BUn albero binario di ricerca bilanciato
  3. CUna tabella hash
  4. DUna lista concatenata non ordinata
4.Strutture datiDifficile

Perché una tabella hash funzioni correttamente, quale regola devono rispettare hash e uguaglianza?

  1. AChiavi uguali devono avere valori hash uguali
  2. BI valori hash devono essere numeri primi
  3. CValori hash uguali implicano chiavi uguali
  4. DChiavi diverse devono avere valori hash diversi
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
412982131143ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

B · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite

Perché è questa la risposta

Una costante sommata all'esponente dà un fattore costante, ma una costante che moltiplica l'esponente cambia la base e il tasso di crescita.

Risposta

C · No, perché 22n = 4ⁿ e 4ⁿ / 2ⁿ = 2ⁿ cresce senza limite
3.Strutture dati

Risposta: B · Un albero binario di ricerca bilanciato

Perché è questa la risposta

Un BST bilanciato offre ricerche in O(log n) e mantiene le chiavi ordinate, quindi la visita in ordine e le interrogazioni su intervalli sono semplici; una tabella hash sparpaglia le chiavi.

Risposta

B · Un albero binario di ricerca bilanciato
4.Strutture dati

Risposta: A · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali

Perché è questa la risposta

Se due chiavi uguali avessero hash diversi verrebbero memorizzate in bucket diversi e le ricerche fallirebbero; chiavi diverse possono invece condividere un hash.

Risposta

A · Chiavi uguali devono avere valori hash uguali
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 11

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 21 = 2(L + 6) − 2
L = 11

Risposta

L = 11

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 22

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 4
B (4): D: 16, G: 17
D (16): E: 25, F: 24
G (17): C: 18, E: 20
C (18)
E (20): F: 22
F (22)

Cammino minimo

A → B → G → E → F
d(F) = 22

Risposta

d(F) = 22

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