Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un algoritmo greedy (goloso):

  1. AUsa solo la ricorsione
  2. BFornisce sempre la soluzione ottima
  3. CProva ogni soluzione possibile
  4. DCompie la scelta localmente migliore a ogni passo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

La moltiplicazione di Karatsuba soddisfa T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual è la soluzione?

  1. AΘ(n3)
  2. BΘ(nlog₂ 3), circa n1,585
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Un nodo di un albero binario di ricerca ha un sottoalbero destro. Dove si trova il suo successore in ordine?

  1. ANel nodo più a destra del suo sottoalbero sinistro
  2. BNel suo figlio destro, sempre
  3. CNel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
  4. DNel suo genitore, sempre
4.Strutture datiDifficile

Quale coppia di visite determina sempre un unico albero binario con chiavi distinte?

  1. AIl solo preordine
  2. BPreordine e ordine simmetrico (inorder)
  3. CPreordine e postordine
  4. DLa sola visita per livelli
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 17 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
32018104817ABCDE

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2; i lati saltati non contano.

k = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

Perché è questa la risposta

Gli algoritmi greedy sono veloci e ottimi per alcuni problemi (ad es. Dijkstra, codifica di Huffman) ma non in generale (ad es. il problema del resto con alcuni sistemi di monete).

Risposta

D · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585

Perché è questa la risposta

Poiché log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, per il teorema dell'esperto dominano le foglie, battendo il metodo scolastico O(n²).

Risposta

B · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585
3.Strutture dati

Risposta: C · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro

Perché è questa la risposta

Tutte le chiavi maggiori vicine al nodo si trovano nel suo sottoalbero destro, e la più piccola di queste è il nodo più a sinistra di quel sottoalbero.

Risposta

C · Nel nodo più a sinistra del suo sottoalbero destro
4.Strutture dati

Risposta: B · Preordine e ordine simmetrico (inorder)

Perché è questa la risposta

Il preordine dà la radice, e la sua posizione nella sequenza in ordine separa i sottoalberi sinistro e destro; preordine e postordine sono ambigui quando un nodo ha un solo figlio.

Risposta

B · Preordine e ordine simmetrico (inorder)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 17 − 11 = 6

Risposta

k = 6
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato CE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. AB (3)
2. CE (4)
3. DE (8)
4. BD (10)

lato numero 2

CE

Risposta

lato CE

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