Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché nell'O grande la base del logaritmo di solito si omette, come in O(log n)?

  1. ATutti i logaritmi in informatica hanno base 10, quindi è sottintesa
  2. BI logaritmi sono sempre arrotondati a interi
  3. CLogaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
  4. DLa base conta solo per n piccolo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n)
3.Strutture datiMedia

Quanti nodi ha un albero binario perfetto di altezza h, con l'altezza contata in archi?

  1. A2h
  2. Bh2
  3. C2h+1 − 1
  4. D2h + 1
4.Strutture datiDifficile

Perché in un filtro di Bloom standard non si possono semplicemente eliminare gli elementi azzerandone i bit?

  1. AI filtri di Bloom memorizzano gli elementi completi, che una volta sottoposti a hash non si possono più ritrovare
  2. BI bit di un filtro di Bloom non si possono modificare dopo la creazione
  3. CQuei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
  4. DL'eliminazione porterebbe il tasso di falsi positivi al 100%
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 44 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
217105136181916ABCDEFG

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4; i lati saltati non contano.

k = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato BD
  3. 3lato CE
  4. 4lato DE
  5. 5lato DF
  6. 6lato EF
  7. 7lato GB
  8. 8lato GC
  9. 9lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante

Perché è questa la risposta

Cambiare base moltiplica il logaritmo per una costante, e l'O grande ignora i fattori costanti.

Risposta

C · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Θ(n log² n)

Perché è questa la risposta

Il livello k svolge circa n log(n / 2ᵏ) lavoro, e sommando sui log n livelli si ottiene Θ(n log² n), il secondo caso esteso del teorema dell'esperto.

Risposta

C · Θ(n log² n)
3.Strutture dati

Risposta: C · 2h+1 − 1

Perché è questa la risposta

La somma 1 + 2 + 4 + ... + 2h dà 2h+1 − 1; per esempio, l'altezza 2 dà 7 nodi.

Risposta

C · 2h+1 − 1
4.Strutture dati

Risposta: C · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi

Perché è questa la risposta

Azzerare un bit condiviso farebbe sembrare assente un altro elemento; i filtri di Bloom a conteggio (counting Bloom filter) usano contatori invece di bit per permettere l'eliminazione.

Risposta

C · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 16 = 2(L + 6) − 2
L = 6

Risposta

L = 6

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato CE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. AB (2)
2. DE (5)
3. EF (6)
4. CE (10)
5. GE (16)
6. BD (17)

lato numero 4

CE

Risposta

lato CE

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms