Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanti livelli ha la ricorsione del merge sort per un array di n elementi?

  1. ACirca √n
  2. BCirca log₂ n
  3. CCirca n
  4. DCirca n / 2
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la complessità temporale di: for i = 1 to n: for (j = i; j ≤ n; j = j + i) lavoro O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(n √n)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
3.Strutture datiMedia

Come funziona extract-min in un min-heap binario?

  1. ASi sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
  2. BSi rimuove l'ultimo elemento dell'array
  3. CSi rimuove la radice e si spostano tutti gli elementi di una posizione a sinistra
  4. DSi cercano in tutte le foglie il nuovo minimo
4.Strutture datiDifficile

Un nodo AVL è sbilanciato perché il sottoalbero destro del suo figlio sinistro è diventato troppo alto (caso sinistra-destra). Quale correzione si applica?

  1. AUna rotazione a destra sul figlio sinistro, poi una rotazione a sinistra sul nodo
  2. BUna singola rotazione a destra sul nodo
  3. CUna rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
  4. DUna singola rotazione a sinistra sul nodo
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 2 vanno da B a E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Circa log₂ n

Perché è questa la risposta

Dimezzare da n fino a 1 richiede circa log₂ n livelli, e ogni livello svolge O(n) lavoro di fusione, da cui O(n log n).

Risposta

B · Circa log₂ n
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Il totale è n / 1 + n / 2 + ... + n / n = n × Hn, e il numero armonico Hn è Θ(log n).

Risposta

D · O(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: A · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere

Perché è questa la risposta

L'ultimo elemento riempie il vuoto nella radice e viene scambiato con il figlio minore finché la proprietà di heap non è soddisfatta, in O(log n).

Risposta

A · Si sposta l'ultimo elemento nella radice e lo si fa scendere
4.Strutture dati

Risposta: C · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo

Perché è questa la risposta

La prima rotazione trasforma il caso sinistra-destra in un caso sinistra-sinistra, che viene poi corretto da una rotazione a destra sul nodo sbilanciato.

Risposta

C · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 4, deg(F) = 1, deg(G) = 2

Vertici dispari

B, C, D, F → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 2

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vicini comuni

(M²)BE = 1·0 + 0·1 + 1·1 + 1·1 + 1·0 = 2

Risposta

N = 2

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