Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale algoritmo trova i cammini minimi da una sorgente in un grafo con pesi degli archi non negativi?

  1. AAlgoritmo di Dijkstra
  2. BVisita in profondità (DFS)
  3. CAlgoritmo di Kruskal
  4. DBellman-Ford è necessario in tutti i casi
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per quale variante dello zaino la regola greedy "prendi gli oggetti in ordine di valore per peso" dà sempre una risposta ottima?

  1. ALo zaino 0/1, in cui gli oggetti si devono prendere sempre interi
  2. BNessuna delle due varianti
  3. CEntrambe le varianti
  4. DLo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa la visita in profondità (DFS) nella versione iterativa?

  1. ASolo una tabella hash
  2. BUn heap
  3. CUno stack
  4. DUna coda
4.Strutture datiDifficile

Quali sono i costi in tempo e in spazio aggiuntivo dell'inversione sul posto di una lista concatenata semplice?

  1. ATempo O(n) e spazio aggiuntivo O(n)
  2. BTempo O(n log n) e spazio aggiuntivo O(1)
  3. CTempo O(1) e spazio aggiuntivo O(1)
  4. DTempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 15 vertici e 23 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 15|E| = 23
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini di lunghezza 3 vanno da A a F? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 3
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Algoritmo di Dijkstra

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Dijkstra funziona con pesi non negativi; Bellman-Ford gestisce pesi negativi; Kruskal costruisce alberi ricoprenti minimi.

Risposta

A · Algoritmo di Dijkstra
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere

Perché è questa la risposta

Quando gli oggetti si possono dividere, prendere prima il rapporto migliore è ottimo; nello zaino 0/1 un oggetto con rapporto alto può impedire una combinazione migliore, quindi serve la programmazione dinamica.

Risposta

D · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture dati

Risposta: C · Uno stack

Perché è questa la risposta

La DFS esplora il più in profondità possibile, usando naturalmente uno stack (o lo stack delle chiamate della ricorsione); la BFS usa una coda.

Risposta

C · Uno stack
4.Strutture dati

Risposta: D · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)

Perché è questa la risposta

Mantenendo tre puntatori (precedente, corrente, successivo) si può invertire ogni collegamento in un solo passaggio senza allocare nuovi nodi.

Risposta

D · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 9

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

15 − 1 = 14

Lati da togliere

k = 23 − 14 = 9

Risposta

k = 9
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 3

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 0 1
E: 0 1 1 0 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Un altro passo

(M³)AF = 2·0 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 2·1 + 0·0 = 3

Risposta

N = 3

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