Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

  1. AL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
  2. BGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi
  3. CL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
  4. DL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. AIl problema della fermata diventerebbe decidibile
  2. BSolo quel problema passerebbe in P
  3. CTutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
  4. DOgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(V)
  2. BO(1)
  3. CO(E)
  4. DO(log V)
4.Strutture datiDifficile

Un array dinamico raddoppia quando è pieno. Perché molte implementazioni lo riducono solo quando è pieno per un quarto, e non per metà?

  1. APerché dimezzare a metà farebbe perdere elementi
  2. BPerché l'allocatore di memoria può liberare memoria solo a quarti di blocco
  3. CPer mantenere l'array ordinato
  4. DPer evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 12 vertici e 17 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 12|E| = 17
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in C? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

C · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

D · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: B · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

B · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: D · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia

Perché è questa la risposta

Ridurre a metà potrebbe provocare un ridimensionamento a ogni operazione in una sequenza del genere; il margine tra 1/4 e pieno mantiene il costo ammortizzato O(1).

Risposta

D · Per evitare ridimensionamenti ripetuti quando push e pop si alternano vicino alla soglia
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

12 − 1 = 11

Lati da togliere

k = 17 − 11 = 6

Risposta

k = 6
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 3

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 1
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vicini comuni

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 = 3

Risposta

N = 3

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