Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Ordini una volta un array di n elementi e poi rispondi a k query di appartenenza con la ricerca binaria. Qual è il costo totale?

  1. AO(nk)
  2. BO(k n log n)
  3. CO(n log n + k log n)
  4. DO(n + k)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché qualsiasi ricerca basata su confronti in un array ordinato richiede Ω(log n) confronti nel caso peggiore?

  1. AOgni confronto richiede un tempo logaritmico
  2. BOgni elemento deve essere confrontato almeno una volta
  3. CUn albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
  4. DLa ricerca binaria è l'unico algoritmo possibile e richiede log₂ n confronti
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati usa un programma in esecuzione per tenere traccia delle chiamate di funzione attive e delle loro variabili locali?

  1. AUna tabella hash di funzioni
  2. BUn albero binario di ricerca di frame
  3. CLa coda della memoria heap
  4. DLo stack delle chiamate
4.Strutture datiDifficile

Quale coppia di visite determina sempre un unico albero binario con chiavi distinte?

  1. APreordine e postordine
  2. BLa sola visita per livelli
  3. CPreordine e ordine simmetrico (inorder)
  4. DIl solo preordine
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
1514135108482ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n log n + k log n)

Perché è questa la risposta

L'ordinamento costa O(n log n) e ogni query O(log n); questo batte k scansioni lineari (O(nk)) quando k è grande.

Risposta

C · O(n log n + k log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n

Perché è questa la risposta

Ogni confronto al massimo dimezza l'insieme delle possibilità rimanenti, quindi distinguere n posizioni richiede almeno log₂ n confronti.

Risposta

C · Un albero di decisione con n esiti possibili deve avere profondità almeno log₂ n
3.Strutture dati

Risposta: D · Lo stack delle chiamate

Perché è questa la risposta

Ogni chiamata inserisce un record di attivazione (stack frame) e ogni ritorno lo estrae, ed è per questo che la chiamata più recente termina per prima.

Risposta

D · Lo stack delle chiamate
4.Strutture dati

Risposta: C · Preordine e ordine simmetrico (inorder)

Perché è questa la risposta

Il preordine dà la radice, e la sua posizione nella sequenza in ordine separa i sottoalberi sinistro e destro; preordine e postordine sono ambigui quando un nodo ha un solo figlio.

Risposta

C · Preordine e ordine simmetrico (inorder)
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 31

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 15
B (15): D: 29, G: 19
G (19): C: 27, D: 21
D (21): E: 26, F: 31
E (26)
C (27)
F (31)

Cammino minimo

A → B → G → D → F
d(F) = 31

Risposta

d(F) = 31

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