Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale della moltiplicazione di due matrici n × n con il triplo ciclo standard?

  1. AO(n)
  2. BO(n² log n)
  3. CO(n³)
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per dimostrare che un nuovo problema X è NP-difficile, che cosa devi fare?

  1. ADimostrare che X si può verificare in tempo polinomiale
  2. BRidurre in tempo polinomiale X a un problema NP-difficile noto
  3. CDimostrare che X non ha un algoritmo polinomiale per input piccoli
  4. DRidurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture datiMedia

Una rete stradale ha 100,000 incroci, ciascuno collegato a circa altri 4. Quale rappresentazione è la più adatta?

  1. AUn unico array ordinato di vertici
  2. BLista di adiacenza
  3. CMatrice di adiacenza
  4. DUn heap binario di archi
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. AOgni nodo deve essere rosso
  2. BOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
  3. COgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
  4. DLa radice deve essere rossa
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K8? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K8
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
118715212819ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n³)

Perché è questa la risposta

Ci sono n² voci e ciascuna richiede n moltiplicazioni, per un totale di n³ operazioni.

Risposta

C · O(n³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X

Perché è questa la risposta

Se un problema difficile noto può essere trasformato efficientemente in X, un algoritmo veloce per X risolverebbe anche il problema noto.

Risposta

D · Ridurre in tempo polinomiale un problema NP-difficile noto a X
3.Strutture dati

Risposta: B · Lista di adiacenza

Perché è questa la risposta

Una matrice richiederebbe 1010 celle, quasi tutte vuote; una lista di adiacenza memorizza solo le circa 400,000 voci degli archi.

Risposta

B · Lista di adiacenza
4.Strutture dati

Risposta: C · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

C · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 2520

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (8 − 1)!/2 = 5040/2 = 2520

Risposta

H = 2520
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 33

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

AB (1): prendi
DE (2): prendi
BD (7): prendi
EF (8): prendi
DF (12): salta, chiude un ciclo
CE (15): prendi

Peso totale

W = 1 + 2 + 7 + 8 + 15 = 33

Risposta

W = 33

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