Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale del quicksort nel caso peggiore?

  1. AO(log n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale definizione della classe NP è corretta?

  1. AProblemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
  2. BProblemi che nessun algoritmo può risolvere
  3. CProblemi che non sono polinomiali
  4. DProblemi che non si possono risolvere in tempo polinomiale
3.Strutture datiMedia

Quale tipo di dato astratto usa l'algoritmo di Dijkstra per scegliere il prossimo vertice da elaborare?

  1. AUn insieme senza ordinamento
  2. BUna coda con priorità di minimo
  3. CUna pila
  4. DUna coda FIFO
4.Strutture datiDifficile

Perché in un filtro di Bloom standard non si possono semplicemente eliminare gli elementi azzerandone i bit?

  1. AL'eliminazione porterebbe il tasso di falsi positivi al 100%
  2. BI filtri di Bloom memorizzano gli elementi completi, che una volta sottoposti a hash non si possono più ritrovare
  3. CI bit di un filtro di Bloom non si possono modificare dopo la creazione
  4. DQuei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K6? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K6
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
46103951112119ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(D) del cammino minimo da A a D nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: D
d(D) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n²)

Perché è questa la risposta

Con pivot sistematicamente sfavorevoli (ad es. input già ordinato e primo elemento come pivot) le partizioni sono sbilanciate, dando O(n²). Il caso medio è O(n log n).

Risposta

C · O(n²)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato

Perché è questa la risposta

Per un problema NP, una soluzione proposta (certificato) può essere controllata rapidamente, per esempio verificando che un dato assegnamento soddisfi una formula booleana.

Risposta

A · Problemi decisionali le cui risposte sì possono essere verificate in tempo polinomiale dato un certificato
3.Strutture dati

Risposta: B · Una coda con priorità di minimo

Perché è questa la risposta

Una coda con priorità di minimo, di solito un heap binario, restituisce in modo efficiente il vertice non visitato con la distanza minima.

Risposta

B · Una coda con priorità di minimo
4.Strutture dati

Risposta: D · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi

Perché è questa la risposta

Azzerare un bit condiviso farebbe sembrare assente un altro elemento; i filtri di Bloom a conteggio (counting Bloom filter) usano contatori invece di bit per permettere l'eliminazione.

Risposta

D · Quei bit possono appartenere anche ad altri elementi, il che causerebbe falsi negativi
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 60

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Risposta

H = 60
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(D) = 16

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): C: 4
C (4): B: 10, E: 7, G: 15
E (7): D: 16, F: 18
B (10)
G (15)
D (16)
F (18)

Cammino minimo

A → C → E → D
d(D) = 16

Risposta

d(D) = 16

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