Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo standard di programmazione dinamica per la sottosequenza comune più lunga di stringhe di lunghezze m e n?

  1. AO(m + n)
  2. BO(mn)
  3. CO(mn log n)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Usando il teorema dell'esperto (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) ha come soluzione:

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n³)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n log n)
3.Strutture datiMedia

Le chiavi 50, 30, 70, 20, 40 vengono inserite in quest'ordine in un albero binario di ricerca vuoto. Qual è il figlio sinistro di 30?

  1. A20
  2. B70
  3. C40
  4. D50
4.Strutture datiDifficile

Un oggetto è memorizzato come chiave in una hash map, e poi viene modificato un campo usato dalla sua funzione hash. Qual è il risultato probabile?

  1. ALa mappa solleva un errore nel momento in cui il campo cambia
  2. BNon cambia nulla, perché l'hash di una chiave si calcola una sola volta all'avvio del programma
  3. CLa mappa sposta automaticamente la chiave nel nuovo bucket
  4. DLa ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 6|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1041214641057ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(mn)

Perché è questa la risposta

La tabella ha (m + 1)(n + 1) celle e ciascuna si calcola in O(1) dalle vicine.

Risposta

B · O(mn)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Θ(n³)

Perché è questa la risposta

log₂ 8 = 3 e n² cresce più lentamente di n³, quindi dominano le foglie: Θ(n³).

Risposta

B · Θ(n³)
3.Strutture dati

Risposta: A · 20

Perché è questa la risposta

20 è minore di 50 e minore di 30, quindi diventa il figlio sinistro di 30; 40 diventa il suo figlio destro.

Risposta

A · 20
4.Strutture dati

Risposta: D · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash

Perché è questa la risposta

La posizione della chiave è stata scelta in base al vecchio hash; con un nuovo hash le ricerche esaminano il bucket sbagliato, quindi le chiavi dovrebbero essere immutabili.

Risposta

D · La ricerca dell'oggetto può fallire perché si trova nel bucket corrispondente al vecchio hash
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 4, deg(F) = 1

Vertici dispari

C, F → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 30

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): C: 10
C (10): B: 14, E: 24, G: 20
B (14): D: 26, G: 18
G (18): D: 23
D (23)
E (24): F: 30
F (30)

Cammino minimo

A → C → E → F
d(F) = 30

Risposta

d(F) = 30

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms