Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(log n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n)
  4. DΩ(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Per quale variante dello zaino la regola greedy "prendi gli oggetti in ordine di valore per peso" dà sempre una risposta ottima?

  1. ALo zaino 0/1, in cui gli oggetti si devono prendere sempre interi
  2. BNessuna delle due varianti
  3. CEntrambe le varianti
  4. DLo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture datiMedia

In un heap binario memorizzato in un array a partire dall'indice 0, dove si trova il genitore del nodo all'indice i?

  1. AAll'indice i − 1
  2. BAll'indice 2i + 1
  3. CAll'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
  4. DAll'indice ⌊i / 2⌋ + 1
4.Strutture datiDifficile

Quale problema della scansione lineare viene ridotto principalmente dal doppio hashing?

  1. AIl costo O(n) della lettura del valore di una chiave
  2. BL'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
  3. CLa necessità di una funzione hash
  4. DLa necessità di memorizzare le chiavi nella tabella
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 4, 2 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 33 × deg 42 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini di lunghezza 2 vanno da B a E? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

D · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere

Perché è questa la risposta

Quando gli oggetti si possono dividere, prendere prima il rapporto migliore è ottimo; nello zaino 0/1 un oggetto con rapporto alto può impedire una combinazione migliore, quindi serve la programmazione dinamica.

Risposta

D · Lo zaino frazionario, in cui gli oggetti si possono dividere
3.Strutture dati

Risposta: C · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋

Perché è questa la risposta

I figli di i sono a 2i + 1 e 2i + 2, quindi il genitore di i è ⌊(i − 1) / 2⌋; con indici a partire da 1 è ⌊i / 2⌋.

Risposta

C · All'indice ⌊(i − 1) / 2⌋
4.Strutture dati

Risposta: B · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate

Perché è questa la risposta

La scansione lineare avanza di 1, quindi le sequenze occupate crescono e si fondono; il doppio hashing usa un secondo hash per il passo, così chiavi diverse esplorano sequenze diverse.

Risposta

B · L'agglomerazione primaria (primary clustering), cioè la formazione di lunghe sequenze di posizioni occupate
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 16

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 32 = 2(L + 9) − 2
L = 16

Risposta

L = 16

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 0
E: 0 1 0 1 0 1
F: 0 0 0 0 1 0

Vicini comuni

(M²)BE = 1·0 + 0·1 + 1·0 + 1·1 + 1·0 + 0·1 = 1

Risposta

N = 1

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