Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale affermazione su una funzione ricorsiva senza un caso base raggiungibile è corretta?

  1. AIl compilatore la trasforma sempre in un ciclo che termina in modo sicuro
  2. BRestituisce automaticamente 0
  3. CContinua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
  4. DViene eseguita in tempo O(1)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Come si confrontano n! e 2ⁿ per n grande?

  1. ACrescono allo stesso ritmo
  2. Bn! è O(n²)
  3. C2ⁿ cresce più velocemente di n!
  4. Dn! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture datiMedia

Una visita in ordine (in-order) di un albero binario di ricerca visita le chiavi in:

  1. AOrdine di inserimento
  2. BOrdine per livelli
  3. COrdine crescente
  4. DOrdine sempre decrescente
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà mantiene ogni B-albero perfettamente bilanciato?

  1. AOgni nodo memorizza una sola chiave
  2. BLe chiavi sono memorizzate solo nella radice
  3. COgni nodo ha esattamente due figli
  4. DTutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 3 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

3 × deg 44 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
72013151939124ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice A. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 3.

partenza: Ak = 3
  1. 1lato AB
  2. 2lato BC
  3. 3lato BD
  4. 4lato CE
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato GB
  8. 8lato GC
  9. 9lato GD
  10. 10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

Perché è questa la risposta

Senza caso base la ricorsione non si ferma mai; in pratica la memoria per gli stack frame si esaurisce e il programma va in crash.

Risposta

C · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ

Perché è questa la risposta

Per n ≥ 4, n! supera 2ⁿ, e il rapporto cresce senza limite perché ogni fattore aggiuntivo di n! è maggiore di 2.

Risposta

D · n! cresce più velocemente di 2ⁿ
3.Strutture dati

Risposta: C · Ordine crescente

Perché è questa la risposta

Visitare il sottoalbero sinistro, poi il nodo e poi il sottoalbero destro restituisce le chiavi del BST in ordine.

Risposta

C · Ordine crescente
4.Strutture dati

Risposta: D · Tutte le foglie sono alla stessa profondità

Perché è questa la risposta

I nodi pieni si dividono verso l'alto e l'albero diventa più alto solo quando si divide la radice, quindi tutte le foglie restano sempre allo stesso livello.

Risposta

D · Tutte le foglie sono alla stessa profondità
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 20

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 38 = 2(L + 10) − 2
L = 20

Risposta

L = 20

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato GE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. AB (7)
2. GB (3)
3. GE (4)
4. CE (1)
5. DE (5)
6. DF (19)

lato numero 3

GE

Risposta

lato GE

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