Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n − 1) + O(n)?

  1. AO(2ⁿ)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(n log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale limite è corretto per log(n!)?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.Strutture datiMedia

Quale metodo di risoluzione delle collisioni memorizza le chiavi in collisione in una lista nello stesso bucket?

  1. AScansione lineare (linear probing)
  2. BDoppio hashing (double hashing)
  3. CScansione quadratica (quadratic probing)
  4. DConcatenamento separato (separate chaining)
4.Strutture datiDifficile

Perché i B-alberi (B-tree) sono usati nei database e nei file system?

  1. AMemorizzano i dati in modo non ordinato
  2. BIl loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
  3. CUsano meno memoria di qualsiasi array, quindi l'intero indice sta sempre nella memoria centrale
  4. DNon richiedono ribilanciamento
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 9
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in B? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n²)

Perché è questa la risposta

Il lavoro somma a circa n² / 2; è la ricorrenza del selection sort o del quicksort con il pivot peggiore.

Risposta

B · O(n²)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Θ(n log n)

Perché è questa la risposta

log(n!) ≤ n log n, e gli n / 2 fattori più grandi danno log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); per questo l'ordinamento per confronti richiede Ω(n log n).

Risposta

A · Θ(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: D · Concatenamento separato (separate chaining)

Perché è questa la risposta

Il concatenamento mantiene una lista concatenata (o un'altra struttura) per ogni bucket; l'indirizzamento aperto cerca un'altra posizione libera all'interno della tabella stessa.

Risposta

D · Concatenamento separato (separate chaining)
4.Strutture dati

Risposta: B · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco

Perché è questa la risposta

I B-alberi memorizzano molte chiavi per nodo, quindi l'altezza è ridotta e servono poche letture di blocchi per ogni ricerca; i B+-alberi collegano inoltre le foglie per le scansioni per intervallo.

Risposta

B · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 1, deg(C) = 4, deg(D) = 3, deg(E) = 4, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vertici dispari

A, B, D, G → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 3

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 0 0
C: 1 1 0 0 0 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 0 0 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 = 3

Risposta

N = 3

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