Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché nell'O grande la base del logaritmo di solito si omette, come in O(log n)?

  1. ALogaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
  2. BLa base conta solo per n piccolo
  3. CI logaritmi sono sempre arrotondati a interi
  4. DTutti i logaritmi in informatica hanno base 10, quindi è sottintesa
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché una ricerca in una tabella hash è in media O(1) ma nel caso peggiore O(n)?

  1. ALe funzioni hash sono lente
  2. BMolte chiavi possono collidere nello stesso bucket
  3. CLe chiavi devono prima essere ordinate
  4. DGli array hanno accesso O(n)
3.Strutture datiMedia

Quanto tempo serve per verificare se l'arco (u, v) esiste usando una matrice di adiacenza?

  1. AO(1)
  2. BO(log V)
  3. CO(E)
  4. DO(V)
4.Strutture datiDifficile

Nell'ipotesi di hashing uniforme semplice, qual è il tempo atteso di una ricerca in una tabella hash con concatenamento, n chiavi e m bucket?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(m)
  4. DO(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDEFGCircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 7|E| = 8
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
1431371928ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 3; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 3
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante

Perché è questa la risposta

Cambiare base moltiplica il logaritmo per una costante, e l'O grande ignora i fattori costanti.

Risposta

A · Logaritmi con basi diverse differiscono solo per un fattore costante
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket

Perché è questa la risposta

Con una buona funzione hash e un fattore di carico adeguato, i bucket restano in media corti; un hashing malevolo o scadente può mettere tutte le chiavi in un solo bucket.

Risposta

B · Molte chiavi possono collidere nello stesso bucket
3.Strutture dati

Risposta: A · O(1)

Perché è questa la risposta

L'elemento della matrice alla riga u, colonna v indica immediatamente se l'arco esiste; con una lista di adiacenza può essere necessario scorrere i vicini di u.

Risposta

A · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: D · O(1 + α), dove α = n / m

Perché è questa la risposta

Calcolare l'hash costa O(1) e la lunghezza attesa della catena è α, quindi mantenere α limitato tramite il ridimensionamento dà un tempo atteso O(1).

Risposta

D · O(1 + α), dove α = n / m
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 2, deg(E) = 1, deg(F) = 2, deg(G) = 3

Vertici dispari

B, C, E, G → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: B

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 14, C: 3
2. C (3)
3. B (14): D: 21, E: 22
4. D (21): F: 30
5. E (22): F: 24
6. F (24)

passo 3

B

Risposta

B

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