Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Il limite inferiore per l'ordinamento basato su confronti nel caso peggiore è:

  1. AΩ(n)
  2. BΩ(n²)
  3. CΩ(n log n)
  4. DΩ(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché la ricerca binaria non dà tempo O(log n) su una lista concatenata semplice?

  1. ARaggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
  2. BLe liste concatenate non si possono ordinare
  3. CI confronti sui nodi di una lista concatenata sono più lenti
  4. DLa ricerca binaria richiede almeno il doppio della memoria
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(1)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(log n)
4.Strutture datiDifficile

Un nodo AVL è sbilanciato perché il sottoalbero destro del suo figlio sinistro è diventato troppo alto (caso sinistra-destra). Quale correzione si applica?

  1. AUna rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
  2. BUna rotazione a destra sul figlio sinistro, poi una rotazione a sinistra sul nodo
  3. CUna singola rotazione a destra sul nodo
  4. DUna singola rotazione a sinistra sul nodo
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 20 vertici e 24 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 20|E| = 24
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
585841253ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Ω(n log n)

Perché è questa la risposta

Qualsiasi ordinamento per confronti richiede almeno log₂(n!) ≈ n log n confronti nel caso peggiore. Il counting sort lo batte perché non effettua confronti.

Risposta

C · Ω(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice

Perché è questa la risposta

La ricerca binaria richiede accesso O(1) all'elemento centrale; su una lista concatenata arrivarci costa tempo lineare, quindi il totale è O(n).

Risposta

A · Raggiungere l'elemento centrale richiede O(n) passi, perché non c'è accesso diretto tramite indice
3.Strutture dati

Risposta: D · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

D · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: A · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo

Perché è questa la risposta

La prima rotazione trasforma il caso sinistra-destra in un caso sinistra-sinistra, che viene poi corretto da una rotazione a destra sul nodo sbilanciato.

Risposta

A · Una rotazione a sinistra sul figlio sinistro, poi una rotazione a destra sul nodo
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 5

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

20 − 1 = 19

Lati da togliere

k = 24 − 19 = 5

Risposta

k = 5
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 13

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 5
B (5): C: 13, D: 10, E: 8
E (8): F: 13
D (10)
C (13)
F (13)

Cammino minimo

A → B → E → F
d(F) = 13

Risposta

d(F) = 13

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