Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo standard di programmazione dinamica per la sottosequenza comune più lunga di stringhe di lunghezze m e n?

  1. AO(mn log n)
  2. BO(mn)
  3. CO(m + n)
  4. DO(2m+n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di Strassen moltiplica matrici usando 7 invece di 8 moltiplicazioni ricorsive di blocchi di metà dimensione. Qual è il suo tempo di esecuzione?

  1. AΘ(n³)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(nlog₂ 7), circa n2,81
3.Strutture datiMedia

Un buffer circolare (ring buffer) è comunemente usato per implementare:

  1. AUna coda di dimensione fissa
  2. BUn albero binario di ricerca
  3. CUna funzione hash
  4. DUna visita di un grafo
4.Strutture datiDifficile

La struttura union-find (insiemi disgiunti) con unione per rango e compressione dei cammini ha un costo ammortizzato per operazione di:

  1. AO(n)
  2. BO(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
  3. CO(n²)
  4. DEsattamente O(log n)
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 5
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
15126211158106ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(mn)

Perché è questa la risposta

La tabella ha (m + 1)(n + 1) celle e ciascuna si calcola in O(1) dalle vicine.

Risposta

B · O(mn)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Θ(nlog₂ 7), circa n2,81

Perché è questa la risposta

Con a = 7 e b = 2, nlog₂ 7 domina il lavoro di addizione O(n²), da cui circa n2,81.

Risposta

D · Θ(nlog₂ 7), circa n2,81
3.Strutture dati

Risposta: A · Una coda di dimensione fissa

Perché è questa la risposta

Un buffer circolare usa indici di testa e di coda che ripartono dall'inizio, garantendo enqueue e dequeue in O(1) con memoria fissa.

Risposta

A · Una coda di dimensione fissa
4.Strutture dati

Risposta: B · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante

Perché è questa la risposta

Con entrambe le ottimizzazioni, le operazioni richiedono un tempo ammortizzato O(α(n)); α(n) ≤ 4 per qualsiasi n realistico.

Risposta

B · O(α(n)), l'inversa della funzione di Ackermann, praticamente costante
5.Teoria dei grafi

Risposta: Cammino euleriano, nessun circuito

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 1, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 1, deg(E) = 2

Vertici dispari

A, D → 2
Cammino euleriano, nessun circuito

Risposta

Cammino euleriano, nessun circuito

Il cammino euleriano parte da un vertice dispari e termina nell’altro.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 23

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 15, C: 12
C (12): E: 23, G: 22
B (15): D: 17
D (17): E: 18
E (18): F: 23
G (22)
F (23)

Cammino minimo

A → B → D → E → F
d(F) = 23

Risposta

d(F) = 23

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms