Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa significa che un problema ha una sottostruttura ottima?

  1. AOgni sottoproblema ha la stessa dimensione
  2. BIl problema si può risolvere in tempo costante
  3. CIl problema ha esattamente una soluzione ottima, condivisa da ogni sottoproblema
  4. DUna soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Perché l'algoritmo di Dijkstra può dare risultati errati quando alcuni pesi degli archi sono negativi?

  1. AFunziona solo sui grafi non orientati
  2. BI numeri negativi non si possono memorizzare in una coda di priorità
  3. CUn vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
  4. DEntra in un ciclo infinito a ogni arco negativo
3.Strutture datiMedia

Un albero binario ha radice 1 con figlio sinistro 2 e figlio destro 3; il nodo 2 ha figli 4 (sinistro) e 5 (destro). Qual è la visita in preordine?

  1. A1 2 4 5 3
  2. B4 5 2 3 1
  3. C4 2 5 1 3
  4. D1 2 3 4 5
4.Strutture datiDifficile

Perché un server potrebbe scegliere a caso la propria funzione hash da una famiglia universale?

  1. APer rendere ordinata la tabella hash
  2. BPer rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
  3. CPer eliminare la necessità di ridimensionare la tabella
  4. DPer garantire che due chiavi non collidano mai, qualunque chiave invii un attaccante
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 2 vanno da C a A? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi

Perché è questa la risposta

La sottostruttura ottima è necessaria sia agli algoritmi greedy sia alla programmazione dinamica per produrre risposte corrette.

Risposta

D · Una soluzione ottima può essere costruita da soluzioni ottime dei suoi sottoproblemi
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve

Perché è questa la risposta

Il passo greedy si basa su pesi non negativi perché le distanze estratte siano definitive; quando i pesi possono essere negativi si usa Bellman–Ford.

Risposta

C · Un vertice viene considerato definitivo quando è estratto, ma un arco negativo successivo potrebbe ancora dargli un cammino più breve
3.Strutture dati

Risposta: A · 1 2 4 5 3

Perché è questa la risposta

La visita in preordine visita 1, poi il suo sottoalbero sinistro (2, 4, 5), poi 3; le altre opzioni sono la visita in ordine, in postordine e per livelli.

Risposta

A · 1 2 4 5 3
4.Strutture dati

Risposta: B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte

Perché è questa la risposta

Con l'hashing universale il numero atteso di collisioni è piccolo per qualsiasi insieme di chiavi, perché l'attaccante non sa quale funzione è stata scelta.

Risposta

B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
5.Teoria dei grafi

Risposta: Circuito euleriano

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 4, deg(C) = 2, deg(D) = 2, deg(E) = 2

Vertici dispari

0
Circuito euleriano

Risposta

Circuito euleriano
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 1 1 0
C: 1 1 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)CA = 1·0 + 1·1 + 0·1 + 0·0 + 1·0 = 1

Risposta

N = 1

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms