Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = T(n − 1) + O(1)?

  1. AO(n²)
  2. BO(log n)
  3. CO(2ⁿ)
  4. DO(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'algoritmo di Strassen moltiplica matrici usando 7 invece di 8 moltiplicazioni ricorsive di blocchi di metà dimensione. Qual è il suo tempo di esecuzione?

  1. AΘ(n² log n)
  2. BΘ(n2)
  3. CΘ(nlog₂ 7), circa n2,81
  4. DΘ(n³)
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A24
  2. B10
  3. C14
  4. D11
4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

  1. AA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
  2. BA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
  3. CA scegliere il vertice di partenza
  4. DA ordinare gli archi per peso
5.Teoria dei grafiMedia
ABCDECircuito eulerianoCammino euleriano, nessun circuitonessuna delle due

Il grafo connesso ha un circuito euleriano, un cammino euleriano che non è un circuito, oppure nessuno dei due? Clicca la tua risposta.

|V| = 5|E| = 6
  1. 1Circuito euleriano
  2. 2Cammino euleriano, nessun circuito
  3. 3nessuna delle due
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in C? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · O(n)

Perché è questa la risposta

Ci sono n livelli, ciascuno con lavoro costante, come nella somma ricorsiva di un array.

Risposta

D · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Θ(nlog₂ 7), circa n2,81

Perché è questa la risposta

Con a = 7 e b = 2, nlog₂ 7 domina il lavoro di addizione O(n²), da cui circa n2,81.

Risposta

C · Θ(nlog₂ 7), circa n2,81
3.Strutture dati

Risposta: C · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

C · 14
4.Strutture dati

Risposta: A · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

A · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
5.Teoria dei grafi

Risposta: nessuna delle due

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Gradi

deg(A) = 2, deg(B) = 3, deg(C) = 3, deg(D) = 1, deg(E) = 3

Vertici dispari

B, C, D, E → 4
nessuna delle due

Risposta

nessuna delle due
6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 3

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 0 0 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 0 0 0 1 1
E: 0 0 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)CC = 1·1 + 1·1 + 0·0 + 0·0 + 1·1 + 0·0 = 3

Risposta

N = 3

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