Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quanto spazio di stack usa una semplice funzione fattoriale ricorsiva fact(n) = n × fact(n − 1)?

  1. AO(n)
  2. BO(1)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Usando il teorema dell'esperto (master theorem), T(n) = 8T(n/2) + O(n²) ha come soluzione:

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n² log n)
  4. DΘ(n³)
3.Strutture datiMedia

Quale struttura dati si usa per verificare se le parentesi in "{[()]}" sono bilanciate?

  1. AUna pila
  2. BUna tabella hash
  3. CUna coda
  4. DUn albero binario di ricerca
4.Strutture datiDifficile

Perché i B-alberi (B-tree) sono usati nei database e nei file system?

  1. AIl loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
  2. BUsano meno memoria di qualsiasi array, quindi l'intero indice sta sempre nella memoria centrale
  3. CNon richiedono ribilanciamento
  4. DMemorizzano i dati in modo non ordinato
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 10 vertici e 16 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 10|E| = 16
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
31761719118ABCDEF

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice C. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 2.

partenza: Ck = 2
  1. 1lato AB
  2. 2lato BC
  3. 3lato BD
  4. 4lato CE
  5. 5lato DE
  6. 6lato DF
  7. 7lato EF
  8. 8lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n)

Perché è questa la risposta

La ricorsione arriva a n chiamate di profondità prima di qualsiasi ritorno, e ogni chiamata richiede un record di attivazione (stack frame), quindi usa O(n) spazio.

Risposta

A · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Θ(n³)

Perché è questa la risposta

log₂ 8 = 3 e n² cresce più lentamente di n³, quindi dominano le foglie: Θ(n³).

Risposta

D · Θ(n³)
3.Strutture dati

Risposta: A · Una pila

Perché è questa la risposta

Si inserisce (push) ogni parentesi aperta e si estrae (pop) quando compare una parentesi chiusa; questa deve corrispondere a quella estratta e alla fine la pila deve essere vuota.

Risposta

A · Una pila
4.Strutture dati

Risposta: A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco

Perché è questa la risposta

I B-alberi memorizzano molte chiavi per nodo, quindi l'altezza è ridotta e servono poche letture di blocchi per ogni ricerca; i B+-alberi collegano inoltre le foglie per le scansioni per intervallo.

Risposta

A · Il loro elevato fattore di ramificazione mantiene l'albero poco profondo, riducendo le lente letture da disco
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 7

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

10 − 1 = 9

Lati da togliere

k = 16 − 9 = 7

Risposta

k = 7
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato AB

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. BC (1)
2. AB (3)
3. CE (6)
4. BD (7)
5. EF (11)

lato numero 2

AB

Risposta

lato AB

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms