Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale della moltiplicazione di due matrici n × n con il triplo ciclo standard?

  1. AO(n²)
  2. BO(n³)
  3. CO(n)
  4. DO(n² log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

La moltiplicazione di Karatsuba soddisfa T(n) = 3T(n/2) + O(n). Qual è la soluzione?

  1. AΘ(n log n)
  2. BΘ(n²)
  3. CΘ(nlog₂ 3), circa n1,585
  4. DΘ(n3)
3.Strutture datiMedia

Come si inserisce un nuovo elemento in un heap binario?

  1. ASi ricostruisce da zero l'intero heap
  2. BLo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
  3. CLo si pone nella radice e lo si fa scendere
  4. DLo si inserisce nella posizione ordinata spostando di un posto a destra tutti gli elementi più grandi
4.Strutture datiDifficile

L'algoritmo di Kahn per l'ordinamento topologico rimuove ripetutamente i vertici con grado entrante 0. Quale struttura contiene questi vertici?

  1. AUn max-heap ordinato per grado uscente
  2. BUna matrice di adiacenza che registra quali vertici sono già stati rimossi
  3. CUna coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
  4. DUna pila di tutti gli archi visitati
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
1061620111171579ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(n³)

Perché è questa la risposta

Ci sono n² voci e ciascuna richiede n moltiplicazioni, per un totale di n³ operazioni.

Risposta

B · O(n³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585

Perché è questa la risposta

Poiché log₂ 3 ≈ 1,585 > 1, per il teorema dell'esperto dominano le foglie, battendo il metodo scolastico O(n²).

Risposta

C · Θ(nlog₂ 3), circa n1,585
3.Strutture dati

Risposta: B · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap

Perché è questa la risposta

Aggiungere alla fine mantiene l'albero completo; gli scambi con il genitore ripristinano l'ordine in O(log n) passi.

Risposta

B · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture dati

Risposta: C · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0

Perché è questa la risposta

I vertici pronti si tengono in una coda; rimuoverne uno riduce il grado entrante dei suoi vicini, e quelli che arrivano a 0 vengono aggiunti, con un tempo O(V + E).

Risposta

C · Una coda (o una collezione qualsiasi) dei vertici con grado entrante 0
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 48

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

EF (1): prendi
BC (6): prendi
GD (7): prendi
GE (9): prendi
AB (10): prendi
DF (11): salta, chiude un ciclo
GC (15): prendi

Peso totale

W = 1 + 6 + 7 + 9 + 10 + 15 = 48

Risposta

W = 48

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