Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. ALa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
  2. BIl merge sort è già O(n)
  3. CI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
  4. DIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quali due cose bisogna dimostrare per provare che un problema decisionale X è NP-completo?

  1. AX è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale
  2. BX è in P, e X si riduce a SAT
  3. CX non ha un algoritmo polinomiale, e X è decidibile
  4. DX si riduce a un problema in P, e X è in NP
3.Strutture datiMedia

Come si inserisce un nuovo elemento in un heap binario?

  1. ALo si pone nella radice e lo si fa scendere
  2. BSi ricostruisce da zero l'intero heap
  3. CLo si inserisce nella posizione ordinata spostando di un posto a destra tutti gli elementi più grandi
  4. DLo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture datiDifficile

Come si può rilevare se una lista concatenata semplice contiene un ciclo usando O(1) memoria aggiuntiva?

  1. ASi ordina la lista e si cercano i duplicati
  2. BSi contano i nodi finché il conteggio supera il campo lunghezza della lista
  3. CSi muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
  4. DSi memorizza ogni nodo visitato in un hash set
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 33 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDE

Quanti cammini di lunghezza 2 vanno da E a B? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

C · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · X è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale

Perché è questa la risposta

L'appartenenza a NP mostra che X non è più difficile di NP; la riduzione da un problema NP-completo noto mostra che X è almeno difficile quanto tutto NP.

Risposta

A · X è in NP, e un problema NP-completo noto si riduce a X in tempo polinomiale
3.Strutture dati

Risposta: D · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap

Perché è questa la risposta

Aggiungere alla fine mantiene l'albero completo; gli scambi con il genitore ripristinano l'ordine in O(log n) passi.

Risposta

D · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture dati

Risposta: C · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano

Perché è questa la risposta

Nell'algoritmo di Floyd, se c'è un ciclo il puntatore veloce prima o poi raggiunge quello lento; altrimenti il puntatore veloce arriva a null.

Risposta

C · Si muove un puntatore di un passo e un altro di due passi e si verifica se si incontrano
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 15

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

Risposta

L = 15

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 1

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0
B: 1 0 0 1 1
C: 1 0 0 0 1
D: 0 1 0 0 1
E: 0 1 1 1 0

Vicini comuni

(M²)EB = 0·1 + 1·0 + 1·0 + 1·1 + 0·1 = 1

Risposta

N = 1

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