Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è il tempo di esecuzione del radix sort LSD su n interi con d cifre in base k?

  1. AO(dn log k)
  2. BO(n log n)
  3. CO(d(n + k))
  4. DO(n²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale limite è corretto per log(n!)?

  1. AΘ(log n)
  2. BΘ(n log n)
  3. CΘ(n²)
  4. DΘ(n)
3.Strutture datiMedia

Come si inserisce un nuovo elemento in un heap binario?

  1. ALo si pone nella radice e lo si fa scendere
  2. BLo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
  3. CSi ricostruisce da zero l'intero heap
  4. DLo si inserisce nella posizione ordinata spostando di un posto a destra tutti gli elementi più grandi
4.Strutture datiDifficile

Quale proprietà deve soddisfare un albero rosso-nero?

  1. AOgni nodo deve essere rosso
  2. BOgni nodo rosso deve avere figli rossi, quindi i nodi rossi formano sempre catene ininterrotte fino alle foglie
  3. COgni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
  4. DLa radice deve essere rossa
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 3 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 33 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
87964113141196ABCDEFG

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 6; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 6
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F
  7. 7G

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(d(n + k))

Perché è questa la risposta

Ciascuna delle d passate è un counting sort che costa O(n + k), quindi per d e k fissati il totale è lineare in n.

Risposta

C · O(d(n + k))
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Θ(n log n)

Perché è questa la risposta

log(n!) ≤ n log n, e gli n / 2 fattori più grandi danno log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); per questo l'ordinamento per confronti richiede Ω(n log n).

Risposta

B · Θ(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: B · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap

Perché è questa la risposta

Aggiungere alla fine mantiene l'albero completo; gli scambi con il genitore ripristinano l'ordine in O(log n) passi.

Risposta

B · Lo si pone alla fine dell'array e lo si fa risalire finché viola la proprietà di heap
4.Strutture dati

Risposta: C · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri

Perché è questa la risposta

Regole rosso-nero: i nodi sono rossi o neri, la radice è nera, i nodi rossi hanno figli neri e tutti i cammini hanno la stessa altezza nera, mantenendo l'altezza ≤ 2 log₂(n + 1).

Risposta

C · Ogni cammino da un nodo alle sue foglie discendenti contiene lo stesso numero di nodi neri
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 15

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 27 = 2(L + 7) − 2
L = 15

Risposta

L = 15

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: G

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 8, C: 7
2. C (7): E: 11, G: 16
3. B (8): D: 14
4. E (11): D: 12, F: 25
5. D (12)
6. G (16)
7. F (25)

passo 6

G

Risposta

G

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms