Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano: Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi: |E(K_n)| = n(n − 1)/2, |E(K_m,n)| = m·n
Grafo regolare: |E| = n·k/2
Albero e foresta: |E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero: L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero: circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in K_n: (n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra: d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L: (Mᴸ)_ij

Metodo

Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale dell'algoritmo di Bellman–Ford su un grafo con V vertici ed E archi?

AO(E log V)
BO(V × E)
CO(V + E)
DO(V³ × E)

2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione sulla selezione del k-esimo elemento più piccolo di un array non ordinato è corretta?

ALa selezione è possibile solo in O(n²)
BIl quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore
CLa selezione richiede sempre Ω(n log n) perché richiede un ordinamento
DIl quickselect richiede O(log n) nel caso peggiore, perché ricorre su un solo lato del pivot

3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

ALa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
BÈ sempre triangolare superiore
CÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
DOgni riga contiene esattamente un 1

4.Strutture datiDifficile

Perché i database usano spesso B+-alberi anziché semplici B-alberi per gli indici?

AI B+-alberi non devono essere bilanciati
BTutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo
CI B+-alberi memorizzano i dati solo nella radice
DI B+-alberi usano nodi interni binari, il che riduce le letture da disco

5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 4 vertici di grado 4, 4 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 34 × deg 44 × deg 5

L =

6.Teoria dei grafiDifficile

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 6; i lati saltati non contano.

k = 6

1lato AC
2lato BC
3lato BD
4lato CE
5lato DE
6lato EF
7lato GB
8lato GC
9lato GD
10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · O(V × E)

Perché è questa la risposta

Ciascuno dei V − 1 turni rilassa tutti gli E archi, da cui O(VE); in cambio gestisce pesi negativi degli archi.

Risposta

B · O(V × E)

2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore

Perché è questa la risposta

Il lavoro atteso del quickselect è n + n/2 + n/4 + ... = O(n) con pivot casuali; scegliere il pivot come mediana delle mediane rende lineare il caso peggiore.

Risposta

B · Il quickselect richiede O(n) atteso, e la mediana delle mediane garantisce O(n) nel caso peggiore

3.Strutture dati

Risposta: C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

C · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

4.Strutture dati

Risposta: B · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo

Perché è questa la risposta

In un B+-albero i nodi interni servono solo a guidare la ricerca e le foglie sono collegate in ordine di chiave, quindi un'interrogazione su intervallo trova la prima chiave e poi scorre lungo le foglie.

Risposta

B · Tutti i record stanno in foglie collegate, il che rende efficienti le scansioni per intervallo

5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 26

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; K_n ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 48 = 2(L + 12) − 2

L = 26

Risposta

L = 26

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato EF

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. BC (1)

2. DE (3)

3. GC (4)

4. AC (9)

5. GE (10)

6. EF (18)

lato numero 6

Risposta

lato EF

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