Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Un algoritmo greedy (goloso):

  1. ACompie la scelta localmente migliore a ogni passo
  2. BUsa solo la ricorsione
  3. CProva ogni soluzione possibile
  4. DFornisce sempre la soluzione ottima
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale limite è corretto per log(n!)?

  1. AΘ(n)
  2. BΘ(log n)
  3. CΘ(n log n)
  4. DΘ(n²)
3.Strutture datiMedia

Hai un riferimento a un nodo a metà di una lista. In quale lista puoi rimuoverlo in O(1)?

  1. AUn array ordinato
  2. BUna lista doppiamente concatenata
  3. CUna lista concatenata semplice
  4. DUn array dinamico
4.Strutture datiDifficile

Un albero di Fenwick (binary indexed tree) su un array di n numeri supporta quali operazioni in O(log n)?

  1. AOrdinamento dell'array e ricerca binaria
  2. BInterrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
  3. CRicerca della mediana in O(1)
  4. DInserimento di elementi in qualsiasi posizione
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 5, 3 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 53 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
ABCDEF

Quanti cammini chiusi di lunghezza 2 partono e terminano in B? Un cammino può ripetere vertici e lati. Chiama il numero N.

M = matrice di adiacenzaL = 2
N =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo

Perché è questa la risposta

Gli algoritmi greedy sono veloci e ottimi per alcuni problemi (ad es. Dijkstra, codifica di Huffman) ma non in generale (ad es. il problema del resto con alcuni sistemi di monete).

Risposta

A · Compie la scelta localmente migliore a ogni passo
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Θ(n log n)

Perché è questa la risposta

log(n!) ≤ n log n, e gli n / 2 fattori più grandi danno log(n!) ≥ (n / 2) log(n / 2); per questo l'ordinamento per confronti richiede Ω(n log n).

Risposta

C · Θ(n log n)
3.Strutture dati

Risposta: B · Una lista doppiamente concatenata

Perché è questa la risposta

Un nodo doppiamente concatenato conosce il suo predecessore, quindi si possono ricollegare direttamente prev e next; in una lista concatenata semplice occorre cercare il predecessore.

Risposta

B · Una lista doppiamente concatenata
4.Strutture dati

Risposta: B · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi

Perché è questa la risposta

Un albero di Fenwick memorizza somme parziali su intervalli determinati dai bit meno significativi di ogni indice, quindi sia le somme prefisse sia gli aggiornamenti puntuali richiedono O(log n).

Risposta

B · Interrogazioni di somme prefisse e aggiornamenti di singoli elementi
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 14

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 26 = 2(L + 7) − 2
L = 14

Risposta

L = 14

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: N = 4

Gradi: il grado di un vertice è il numero di lati che vi arrivano. Ogni lato ha due estremi, quindi i gradi sommano al doppio del numero di lati: Σ deg(v) = 2|E| (il lemma delle strette di mano). Il numero di vertici di grado dispari è quindi pari. Kn ha n(n − 1)/2 lati, un grafo k-regolare con n vertici ne ha nk/2, e un albero con n vertici ha n − 1 lati.

Matrice di adiacenza

A: 0 1 1 0 0 0
B: 1 0 1 1 1 0
C: 1 1 0 0 1 0
D: 0 1 0 0 1 1
E: 0 1 1 1 0 1
F: 0 0 0 1 1 0

Vicini comuni

(M²)BB = 1·1 + 0·0 + 1·1 + 1·1 + 1·1 + 0·0 = 4

Risposta

N = 4

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