Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(n) ha come soluzione:

  1. AO(n log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale di questi problemi di soddisfacibilità è noto per essere risolvibile in tempo polinomiale?

  1. A3-SAT, in cui ogni clausola ha esattamente tre letterali
  2. B2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
  3. CLa soddisfacibilità dei circuiti
  4. DSAT generale su formule in forma normale congiuntiva
3.Strutture datiMedia

In una coda circolare memorizzata in un array di capacità n, come si calcola la posizione successiva all'indice i?

  1. A(i − 1) mod n
  2. B(i + 1) mod n
  3. Ci + 1
  4. D2i + 1
4.Strutture datiDifficile

Devi conservare i k valori più piccoli di un flusso di n numeri usando O(k) memoria. Quale approccio funziona in tempo O(n log k)?

  1. AUn max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
  2. BUn array ordinato di tutti gli n valori
  3. CUn min-heap che contiene tutti gli n valori, da cui alla fine si estraggono i k più piccoli
  4. DUna coda FIFO degli ultimi k valori
5.Teoria dei grafiMedia

Un grafo connesso ha 8 vertici e 12 lati. Quanti lati k vanno tolti per ottenere un albero di copertura?

|V| = 8|E| = 12
k =
6.Teoria dei grafiDifficile
2131206187ABCDE

L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 4; i lati saltati non contano.

k = 4
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato CE
  6. 6lato DE
  7. 7lato BE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · O(n log n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) (a = 2, b = 2, f(n) = n), T(n) = Θ(n log n).

Risposta

A · O(n log n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: B · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

Perché è questa la risposta

2-SAT è in P (tempo lineare tramite componenti fortemente connesse), mentre 3-SAT è NP-completo.

Risposta

B · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture dati

Risposta: B · (i + 1) mod n

Perché è questa la risposta

L'operazione modulo riporta l'indice n − 1 a 0, così l'array viene riutilizzato senza spostare elementi.

Risposta

B · (i + 1) mod n
4.Strutture dati

Risposta: A · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo

Perché è questa la risposta

La radice del max-heap è il più grande valore conservato; ogni nuovo valore più piccolo la sostituisce in O(log k), quindi l'heap contiene sempre i k valori più piccoli visti finora.

Risposta

A · Un max-heap di dimensione k, di cui si sostituisce la radice quando arriva un valore più piccolo
5.Teoria dei grafi

Risposta: k = 5

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lati di un albero di copertura

8 − 1 = 7

Lati da togliere

k = 12 − 7 = 5

Risposta

k = 5
6.Teoria dei grafi

Risposta: lato DE

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

1. BC (1)
2. AB (2)
3. CE (6)
4. DE (18)

lato numero 4

DE

Risposta

lato DE

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