Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Come costruisce l'algoritmo di Prim un albero ricoprente minimo?

  1. AFa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
  2. BEsegue una visita in ampiezza e conserva l'albero BFS
  3. CRimuove l'arco più costoso finché non restano cicli
  4. DOrdina tutti gli archi per peso e aggiunge ciascuno di essi a meno che non formi un ciclo nella foresta
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + n log n?

  1. AΘ(n²)
  2. BΘ(n)
  3. CΘ(n log² n)
  4. DΘ(n log n)
3.Strutture datiMedia

Le chiavi 50, 30, 70, 20, 40 vengono inserite in quest'ordine in un albero binario di ricerca vuoto. Qual è il figlio sinistro di 30?

  1. A70
  2. B50
  3. C40
  4. D20
4.Strutture datiDifficile

Nell'algoritmo di Kruskal per l'albero ricoprente minimo, a che cosa serve la struttura union-find?

  1. AA verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
  2. BA scegliere il vertice di partenza
  3. CA ordinare gli archi per peso
  4. DA memorizzare la distanza corrente di ogni vertice dalla sorgente durante la visita
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K5? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K5
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
12211113897ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero

Perché è questa la risposta

L'algoritmo di Prim, con una coda di priorità degli archi di attraversamento, richiede O(E log V) con uno heap binario.

Risposta

A · Fa crescere un unico albero da un vertice iniziale, aggiungendo l'arco più economico che esce dall'albero
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Θ(n log² n)

Perché è questa la risposta

Il livello k svolge circa n log(n / 2ᵏ) lavoro, e sommando sui log n livelli si ottiene Θ(n log² n), il secondo caso esteso del teorema dell'esperto.

Risposta

C · Θ(n log² n)
3.Strutture dati

Risposta: D · 20

Perché è questa la risposta

20 è minore di 50 e minore di 30, quindi diventa il figlio sinistro di 30; 40 diventa il suo figlio destro.

Risposta

D · 20
4.Strutture dati

Risposta: A · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati

Perché è questa la risposta

Find indica se entrambi gli estremi sono nella stessa componente; in caso contrario l'arco viene aggiunto e union fonde le componenti.

Risposta

A · A verificare se i due estremi di un arco sono già collegati
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 12

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (5 − 1)!/2 = 24/2 = 12

Risposta

H = 12
6.Teoria dei grafi

Risposta: B

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 12, C: 2
2. C (2): E: 5
3. E (5): D: 13, F: 14
4. B (12)
5. D (13)
6. F (14)

passo 4

B

Risposta

B

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