Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Che cosa calcola l'algoritmo di Floyd–Warshall, e con quale velocità?

  1. AI cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
  2. BI cammini minimi da un vertice sorgente a tutti gli altri in O(V + E)
  3. CUn albero ricoprente minimo in O(E log V)
  4. DUn ordinamento topologico in O(V²)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'ordinamento topologico è possibile solo per:

  1. AGrafi completi
  2. BGrafi non orientati
  3. CGrafi con pesi negativi
  4. DGrafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. ATutte le chiavi di un heap sono uguali
  2. BGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
  3. CGli heap non contengono mai più di 100 elementi
  4. DÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture datiDifficile

Un segment tree (albero dei segmenti) è tipicamente usato per:

  1. ARispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
  2. BOrdinare stringhe alfabeticamente memorizzando ogni prefisso in un nodo separato dell'albero
  3. CMemorizzare gli archi di un grafo
  4. DImplementare uno stack
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K6? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K6
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
8810106978ABCDEF

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(D) del cammino minimo da A a D nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: D
d(D) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)

Perché è questa la risposta

Floyd–Warshall è un algoritmo di programmazione dinamica che ammette a turno ogni vertice come punto intermedio, con tempo O(V³).

Risposta

A · I cammini minimi tra tutte le coppie di vertici in O(V³)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Grafi orientati aciclici (DAG)

Perché è questa la risposta

Un ordinamento topologico esiste se e solo se il grafo orientato non ha cicli; si può trovare in O(V + E) con la DFS o con l'algoritmo di Kahn.

Risposta

D · Grafi orientati aciclici (DAG)
3.Strutture dati

Risposta: D · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

D · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: A · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)

Perché è questa la risposta

Un segment tree memorizza valori aggregati per intervalli, supportando interrogazioni su intervalli e aggiornamenti puntuali in tempo O(log n).

Risposta

A · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 60

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (6 − 1)!/2 = 120/2 = 60

Risposta

H = 60
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(D) = 18

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 8, C: 8
B (8): D: 18, E: 16
C (8)
E (16): F: 23
D (18)
F (23)

Cammino minimo

A → B → D
d(D) = 18

Risposta

d(D) = 18

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