Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

Nuovi eserciziTorna al corso

Nella finestra di stampa scegli “Salva come PDF” per conservarne una copia sul tuo dispositivo.

1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

La programmazione dinamica è utile quando un problema presenta:

  1. ASolo input casuali
  2. BSottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
  3. CUn unico ciclo
  4. DNessun sottoproblema, quindi si risolve in un solo passo
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale affermazione su P e NP è corretta?

  1. AOgni problema in P appartiene anche a NP
  2. BNP significa «non polinomiale»
  3. CLe soluzioni dei problemi NP non possono essere verificate rapidamente
  4. DÈ stato dimostrato che P ≠ NP
3.Strutture datiMedia

Che cosa succede quando una tabella hash esegue il rehashing dopo che il fattore di carico ha superato una soglia?

  1. ALe chiavi più vecchie vengono eliminate per fare spazio
  2. BSi alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
  3. CSolo le chiavi in collisione vengono spostate in una nuova lista di overflow in fondo alla tabella
  4. DLe chiavi esistenti vengono ordinate sul posto
4.Strutture datiDifficile

Qual è il vantaggio principale di una skip list rispetto a una lista concatenata ordinata?

  1. AMemorizza le chiavi senza ordine
  2. BNon usa memoria aggiuntiva
  3. CRicerca garantita in O(1) perché ogni nodo memorizza un puntatore a tutti gli altri nodi
  4. DRicerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 32 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
511317206421810ABCDEFG

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 7|E| = 10
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: B · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima

Perché è questa la risposta

Memorizzare i risultati dei sottoproblemi sovrapposti (memoizzazione o tabulazione) evita lavoro ripetuto, trasformando algoritmi esponenziali in polinomiali.

Risposta

B · Sottoproblemi sovrapposti e sottostruttura ottima
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Ogni problema in P appartiene anche a NP

Perché è questa la risposta

P ⊆ NP: se puoi risolvere un problema rapidamente, puoi verificarne rapidamente una soluzione. Se P = NP è ancora una questione aperta.

Risposta

A · Ogni problema in P appartiene anche a NP
3.Strutture dati

Risposta: B · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita

Perché è questa la risposta

Poiché l'indice si calcola modulo la dimensione della tabella, tutte le chiavi devono essere ridistribuite nella nuova tabella più grande; raddoppiando la dimensione il costo resta O(1) ammortizzato.

Risposta

B · Si alloca una tabella più grande e ogni chiave viene reinserita
4.Strutture dati

Risposta: D · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti

Perché è questa la risposta

I livelli casuali permettono alle ricerche di saltare molti nodi, ottenendo un tempo atteso O(log n) per ricerca, inserimento e cancellazione.

Risposta

D · Ricerca attesa in O(log n) grazie a più livelli di puntatori in avanti
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 17

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 33 = 2(L + 9) − 2
L = 17

Risposta

L = 17

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 37

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

GC (2): prendi
CE (3): prendi
GB (4): prendi
AB (5): prendi
EF (6): prendi
GE (10): salta, chiude un ciclo
AC (11): salta, chiude un ciclo
DE (17): prendi

Peso totale

W = 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 17 = 37

Risposta

W = 37

ExamProblems · examproblems.com/courses/data-structures-and-algorithms