Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché molte routine di ordinamento delle librerie passano all'insertion sort per sottoarray molto piccoli?

  1. AL'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
  2. BGli algoritmi ricorsivi non gestiscono array con meno di 10 elementi
  3. CL'insertion sort usa meno memoria di qualsiasi altro algoritmo di ordinamento per input grandi
  4. DL'insertion sort è O(n log n) nel caso peggiore
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale di questi problemi di soddisfacibilità è noto per essere risolvibile in tempo polinomiale?

  1. ASAT generale su formule in forma normale congiuntiva
  2. BLa soddisfacibilità dei circuiti
  3. C3-SAT, in cui ogni clausola ha esattamente tre letterali
  4. D2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture datiMedia

Che cosa è vero per la matrice di adiacenza di un grafo non orientato?

  1. AÈ sempre triangolare superiore
  2. BLa sua diagonale principale contiene sempre degli uno
  3. COgni riga contiene esattamente un 1
  4. DÈ simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture datiDifficile

Quali sono i costi in tempo e in spazio aggiuntivo dell'inversione sul posto di una lista concatenata semplice?

  1. ATempo O(n) e spazio aggiuntivo O(n)
  2. BTempo O(n log n) e spazio aggiuntivo O(1)
  3. CTempo O(1) e spazio aggiuntivo O(1)
  4. DTempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 5, 4 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 54 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1249321013141123ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati

Perché è questa la risposta

Per n piccolo il semplice ciclo dell'insertion sort batte l'overhead della ricorsione di quicksort o merge sort, anche se è O(n²).

Risposta

A · L'insertion sort ha poco overhead ed è veloce su input piccoli o quasi ordinati
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali

Perché è questa la risposta

2-SAT è in P (tempo lineare tramite componenti fortemente connesse), mentre 3-SAT è NP-completo.

Risposta

D · 2-SAT, in cui ogni clausola ha al massimo due letterali
3.Strutture dati

Risposta: D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale

Perché è questa la risposta

In un grafo non orientato l'arco {u, v} implica che siano impostati sia M[u][v] sia M[v][u], quindi la matrice coincide con la sua trasposta.

Risposta

D · È simmetrica rispetto alla diagonale principale
4.Strutture dati

Risposta: D · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)

Perché è questa la risposta

Mantenendo tre puntatori (precedente, corrente, successivo) si può invertire ogni collegamento in un solo passaggio senza allocare nuovi nodi.

Risposta

D · Tempo O(n) e spazio aggiuntivo O(1)
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 18 = 2(L + 6) − 2
L = 8

Risposta

L = 8

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 20

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 12, C: 4
C (4): G: 5
G (5): D: 17, E: 8
E (8): D: 10, F: 21
D (10): F: 20
B (12)
F (20)

Cammino minimo

A → C → G → E → D → F
d(F) = 20

Risposta

d(F) = 20

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