Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

È corretto dire che un algoritmo O(n²) è anche O(n³)?

  1. ASì, ma solo se n è minore di 100
  2. BNo, perché per n grande n³ è minore di n²
  3. CNo, perché l'O grande deve indicare sempre l'esatto tasso di crescita della funzione
  4. DSì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quali sono i costi in tempo e spazio del calcolo dell'n-esimo numero di Fibonacci con un ciclo che conserva solo gli ultimi due valori?

  1. ATempo O(2ⁿ) e spazio O(1)
  2. BTempo O(n) e spazio O(n)
  3. CTempo O(n) e spazio O(1)
  4. DTempo O(log n) e spazio O(n)
3.Strutture datiMedia

Quanta memoria utilizza una matrice di adiacenza per un grafo con V vertici?

  1. AO(E)
  2. BO(log V)
  3. CO(V²)
  4. DO(V + E)
4.Strutture datiDifficile

Perché un server potrebbe scegliere a caso la propria funzione hash da una famiglia universale?

  1. APer garantire che due chiavi non collidano mai, qualunque chiave invii un attaccante
  2. BPer rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
  3. CPer eliminare la necessità di ridimensionare la tabella
  4. DPer rendere ordinata la tabella hash
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 4, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 4
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
519131881520111216ABCDEFG

L’algoritmo di Prim costruisce un albero di copertura minimo a partire dal vertice G. Clicca il lato che aggiunge come lato numero 3.

partenza: Gk = 3
  1. 1lato AB
  2. 2lato AC
  3. 3lato BC
  4. 4lato BD
  5. 5lato DF
  6. 6lato EF
  7. 7lato GB
  8. 8lato GC
  9. 9lato GD
  10. 10lato GE

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³

Perché è questa la risposta

L'O grande è un limite superiore, quindi l'affermazione è vera ma non stretta; Θ(n²) indica il tasso di crescita esatto.

Risposta

D · Sì, perché l'O grande è un limite superiore e n² non cresce più velocemente di n³
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Tempo O(n) e spazio O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni passo richiede solo i due valori precedenti, quindi la tabella del metodo bottom-up può essere sostituita da due variabili.

Risposta

C · Tempo O(n) e spazio O(1)
3.Strutture dati

Risposta: C · O(V²)

Perché è questa la risposta

Una matrice di adiacenza memorizza V × V elementi ed è efficiente per grafi densi; le liste di adiacenza usano O(V + E), meglio per grafi sparsi.

Risposta

C · O(V²)
4.Strutture dati

Risposta: B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte

Perché è questa la risposta

Con l'hashing universale il numero atteso di collisioni è piccolo per qualsiasi insieme di chiavi, perché l'attaccante non sa quale funzione è stata scelta.

Risposta

B · Per rendere molto improbabile che un attaccante scelga molte chiavi che collidono tutte
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 6

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 8 = 2(L + 2) − 2
L = 6

Risposta

L = 6

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: lato DF

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Prim

1. GC (11)
2. GD (12)
3. DF (8)
4. BC (13)
5. AB (5)
6. EF (15)

lato numero 3

DF

Risposta

lato DF

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