Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Quale affermazione su una funzione ricorsiva senza un caso base raggiungibile è corretta?

  1. AContinua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
  2. BRestituisce automaticamente 0
  3. CIl compilatore la trasforma sempre in un ciclo che termina in modo sicuro
  4. DViene eseguita in tempo O(1)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

L'insertion sort richiede O(n) su un input ordinato. Questo contraddice il limite inferiore Ω(n log n) per l'ordinamento per confronti?

  1. ANo, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
  2. BSì, quindi il limite inferiore è sbagliato
  3. CNo, perché l'insertion sort non è un ordinamento per confronti
  4. DSì, ma solo per array più corti di 100
3.Strutture datiMedia

Qual è il valore dell'espressione postfissa 3 4 + 2 * ?

  1. A10
  2. B24
  3. C14
  4. D11
4.Strutture datiDifficile

Un filtro di Bloom può rispondere alla domanda «questo elemento è nell'insieme?» con:

  1. ARisposte sempre esatte
  2. BPossibili falsi negativi ma nessun falso positivo
  3. CRisposte solo per numeri
  4. DPossibili falsi positivi ma nessun falso negativo
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K7? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K7
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
8101281415213133ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow

Perché è questa la risposta

Senza caso base la ricorsione non si ferma mai; in pratica la memoria per gli stack frame si esaurisce e il programma va in crash.

Risposta

A · Continua a chiamare se stessa finché lo stack delle chiamate va in overflow
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input

Perché è questa la risposta

Il limite dice che ogni ordinamento per confronti richiede circa n log n confronti su qualche input di dimensione n; input particolari possono essere molto più veloci.

Risposta

A · No, il limite inferiore si applica al caso peggiore su tutti gli input, non a ogni input
3.Strutture dati

Risposta: C · 14

Perché è questa la risposta

Push di 3 e 4, + dà 7; push di 2, * dà 7 × 2 = 14.

Risposta

C · 14
4.Strutture dati

Risposta: D · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo

Perché è questa la risposta

Se uno qualsiasi dei bit di un elemento è 0, l'elemento è sicuramente assente; se sono tutti 1, è probabilmente presente. I filtri di Bloom sacrificano la precisione in cambio di pochissima memoria.

Risposta

D · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 360

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (7 − 1)!/2 = 720/2 = 360

Risposta

H = 360
6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 38

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 8, C: 10
B (8): G: 10
C (10): E: 18
G (10): D: 23, E: 13
E (13)
D (23): F: 38
F (38)

Cammino minimo

A → B → G → D → F
d(F) = 38

Risposta

d(F) = 38

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