Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la complessità temporale del quicksort nel caso peggiore?

  1. AO(n)
  2. BO(n log n)
  3. CO(n²)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa ha stabilito il teorema di Cook–Levin?

  1. AIl problema della fermata è indecidibile
  2. BP è diverso da NP
  3. COgni problema NP si può risolvere in tempo esponenziale
  4. DIl problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
3.Strutture datiMedia

Qual è la complessità temporale della ricerca di una chiave in un albero binario di ricerca bilanciato?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(n log n)
  4. DO(1)
4.Strutture datiDifficile

Un segment tree (albero dei segmenti) è tipicamente usato per:

  1. AOrdinare stringhe alfabeticamente memorizzando ogni prefisso in un nodo separato dell'albero
  2. BMemorizzare gli archi di un grafo
  3. CRispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
  4. DImplementare uno stack
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 2 vertici di grado 5, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

2 × deg 5
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
1713139151412810ABCDEFG

Usa l’algoritmo di Dijkstra per trovare la lunghezza d(F) del cammino minimo da A a F nel grafo pesato.

partenza: Aarrivo: F
d(F) =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n²)

Perché è questa la risposta

Con pivot sistematicamente sfavorevoli (ad es. input già ordinato e primo elemento come pivot) le partizioni sono sbilanciate, dando O(n²). Il caso medio è O(n log n).

Risposta

C · O(n²)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: D · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo

Perché è questa la risposta

Cook e Levin dimostrarono indipendentemente che ogni problema in NP si riduce a SAT in tempo polinomiale, quindi SAT fu il primo problema NP-completo noto.

Risposta

D · Il problema della soddisfacibilità booleana (SAT) è NP-completo
3.Strutture dati

Risposta: A · O(log n)

Perché è questa la risposta

Un albero bilanciato ha un'altezza di circa log₂ n, quindi una ricerca segue un unico percorso dalla radice a una foglia.

Risposta

A · O(log n)
4.Strutture dati

Risposta: C · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)

Perché è questa la risposta

Un segment tree memorizza valori aggregati per intervalli, supportando interrogazioni su intervalli e aggiornamenti puntuali in tempo O(log n).

Risposta

C · Rispondere a interrogazioni su intervalli (come somme su intervalli) e aggiornamenti in O(log n)
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 8

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 10 = 2(L + 2) − 2
L = 8

Risposta

L = 8

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: d(F) = 32

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

Ogni riga: il vertice fissato, la sua distanza definitiva e i vertici adiacenti la cui distanza migliora.

A (0): B: 1, C: 7
B (1): G: 15
C (7)
G (15): D: 23, E: 25
D (23): F: 32
E (25)
F (32)

Cammino minimo

A → B → G → D → F
d(F) = 32

Risposta

d(F) = 32

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