Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Qual è la soluzione della ricorrenza T(n) = 2T(n/2) + O(1)?

  1. AO(n log n)
  2. BO(n²)
  3. CO(n)
  4. DO(log n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Quale tecnica garantisce al quicksort un tempo di esecuzione atteso O(n log n) su qualsiasi input?

  1. AUsare la ricorsione solo sul lato sinistro
  2. BScegliere sempre il primo elemento
  3. CScegliere il pivot in modo uniformemente casuale
  4. DOrdinare l'input prima di eseguire il quicksort
3.Strutture datiMedia

Perché un heap binario si può memorizzare in un array senza puntatori?

  1. AGli heap non contengono mai più di 100 elementi
  2. BÈ un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
  3. CTutte le chiavi di un heap sono uguali
  4. DGli array mantengono automaticamente le chiavi in ordine, quindi non servono puntatori
4.Strutture datiDifficile

Un filtro di Bloom può rispondere alla domanda «questo elemento è nell'insieme?» con:

  1. APossibili falsi positivi ma nessun falso negativo
  2. BRisposte solo per numeri
  3. CRisposte sempre esatte
  4. DPossibili falsi negativi ma nessun falso positivo
5.Teoria dei grafiMedia

Quanti cicli hamiltoniani diversi H ha il grafo completo K4? I cicli che differiscono solo per il vertice iniziale o per il verso contano come lo stesso.

K4
H =
6.Teoria dei grafiDifficile
515981291410ABCDEF

L’algoritmo di Dijkstra parte da A. Clicca il vertice che viene fissato (reso permanente) al passo 4; A stesso è il passo 1.

partenza: Apasso 4
  1. 1A
  2. 2B
  3. 3C
  4. 4D
  5. 5E
  6. 6F

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · O(n)

Perché è questa la risposta

Per il teorema dell'esperto (master theorem) nlog₂ 2 = n domina il lavoro costante, quindi T(n) = Θ(n), come quando si trova il massimo dividendo a metà.

Risposta

C · O(n)
2.Algoritmi e complessità

Risposta: C · Scegliere il pivot in modo uniformemente casuale

Perché è questa la risposta

Con un pivot casuale il tempo atteso è O(n log n) per ogni input; i casi sfavorevoli esistono ancora ma sono molto improbabili.

Risposta

C · Scegliere il pivot in modo uniformemente casuale
3.Strutture dati

Risposta: B · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici

Perché è questa la risposta

La completezza significa che non ci sono buchi, quindi i figli dell'indice i si trovano sempre a 2i + 1 e 2i + 2.

Risposta

B · È un albero binario completo, quindi le posizioni seguono semplici formule sugli indici
4.Strutture dati

Risposta: A · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo

Perché è questa la risposta

Se uno qualsiasi dei bit di un elemento è 0, l'elemento è sicuramente assente; se sono tutti 1, è probabilmente presente. I filtri di Bloom sacrificano la precisione in cambio di pochissima memoria.

Risposta

A · Possibili falsi positivi ma nessun falso negativo
5.Teoria dei grafi

Risposta: H = 3

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Conta

H = (4 − 1)!/2 = 6/2 = 3

Risposta

H = 3
6.Teoria dei grafi

Risposta: C

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Dijkstra passo per passo

1. A (0): B: 5, C: 15
2. B (5): C: 14, D: 13
3. D (13): E: 22, F: 27
4. C (14)
5. E (22)
6. F (27)

passo 4

C

Risposta

C

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