Algoritmi e strutture dati: pacchetto last-minute

Formulari, i passaggi chiave del metodo per ogni argomento e 6 esercizi, con le soluzioni complete in fondo.

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1Formule e metodi

Teoria dei grafi

Lemma delle strette di mano
Σ deg(v) = 2|E|
Grafi completi
|E(Kn)| = n(n − 1)/2, |E(Km,n)| = m·n
Grafo regolare
|E| = n·k/2
Albero e foresta
|E| = n − 1, |E| = n − c
Foglie di un albero
L = 2 + Σ (deg(v) − 2) over deg(v) ≥ 3
Eulero
circuito: tutti i gradi pari; cammino: esattamente 2 gradi dispari
Cicli hamiltoniani in Kn
(n − 1)!/2
Aggiornamento di Dijkstra
d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v))
Cammini di lunghezza L
(Mᴸ)ij

Metodo

  1. Scrivi il grado di ogni vertice; la somma dei gradi è il doppio del numero di lati.
  2. Nelle domande su Eulero, verifica che il grafo sia connesso e conta i vertici di grado dispari.
  3. Per gli alberi, usa n − 1 lati e il lemma delle strette di mano.
  4. Per Dijkstra, tieni una tabella delle distanze provvisorie e a ogni passo fissa il vertice non ancora fissato con la distanza minima.
  5. Per un albero di copertura minimo, ordina i lati per peso e salta ogni lato che chiude un ciclo (Kruskal), oppure fai crescere un solo albero a partire da un vertice iniziale (Prim).

2Esercizi

1.Algoritmi e complessitàMedia

Perché la programmazione dinamica non dà un vero guadagno di velocità per il merge sort?

  1. AIl merge sort non ha una struttura ricorsiva
  2. BLa programmazione dinamica funziona solo sui problemi su grafi, non sugli array
  3. CI suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
  4. DIl merge sort è già O(n)
2.Algoritmi e complessitàDifficile

Che cosa seguirebbe se qualcuno trovasse un algoritmo in tempo polinomiale per un problema NP-completo?

  1. AOgni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
  2. BSolo quel problema passerebbe in P
  3. CTutti gli algoritmi a tempo esponenziale diventerebbero subito lineari
  4. DIl problema della fermata diventerebbe decidibile
3.Strutture datiMedia

Una coda è implementata con due pile: push su una pila «in» e pop da una pila «out», che viene riempita da «in» quando è vuota. Qual è il costo ammortizzato per operazione?

  1. AO(log n)
  2. BO(n)
  3. CO(1)
  4. DO(n²)
4.Strutture datiDifficile

Le chiavi 5, 3, 8, 1 vengono inserite in quest'ordine in un min-heap binario vuoto basato su array. Qual è l'array finale?

  1. A[3, 1, 8, 5]
  2. B[1, 5, 8, 3]
  3. C[1, 3, 8, 5]
  4. D[1, 3, 5, 8]
5.Teoria dei grafiMedia

Un albero ha 4 vertici di grado 3, 2 vertici di grado 4, 3 vertici di grado 5, 2 vertici di grado 2, e tutti gli altri suoi vertici sono foglie (grado 1). Quante foglie L ha?

4 × deg 32 × deg 43 × deg 52 × deg 2
L =
6.Teoria dei grafiDifficile
12161147195ABCDEF

Trova il peso totale W di un albero di copertura minimo del grafo pesato.

|V| = 6|E| = 8
W =

3Soluzioni

1.Algoritmi e complessità

Risposta: C · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare

Perché è questa la risposta

Le metà del merge sort sono disgiunte e ciascuna viene risolta una volta; la PD aiuta solo quando i sottoproblemi si ripetono, come in Fibonacci.

Risposta

C · I suoi sottoproblemi non si sovrappongono, quindi non c'è nulla da riutilizzare
2.Algoritmi e complessità

Risposta: A · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP

Perché è questa la risposta

Poiché tutto NP si riduce in tempo polinomiale a qualsiasi problema NP-completo, un algoritmo veloce per uno fornisce un algoritmo veloce per tutti.

Risposta

A · Ogni problema in NP si potrebbe risolvere in tempo polinomiale, quindi P = NP
3.Strutture dati

Risposta: C · O(1)

Perché è questa la risposta

Ogni elemento subisce in totale al massimo due push e due pop, quindi anche se un singolo riempimento può costare O(n), la media su una sequenza è O(1).

Risposta

C · O(1)
4.Strutture dati

Risposta: C · [1, 3, 8, 5]

Perché è questa la risposta

Dopo 5, 3, 8 l'array è [3, 5, 8]; 1 va all'indice 3, si scambia con il genitore 5 e poi con 3, dando [1, 3, 8, 5].

Risposta

C · [1, 3, 8, 5]
5.Teoria dei grafi

Risposta: L = 19

Eulero, Hamilton e alberi: un grafo connesso ha un circuito euleriano (ogni lato una volta, di nuovo al punto di partenza) quando ogni vertice ha grado pari, e un cammino euleriano che non è un circuito quando esattamente due vertici hanno grado dispari; il cammino va allora da un vertice dispari all’altro. Un ciclo hamiltoniano visita ogni vertice una volta; Kn ne ha (n − 1)!/2. Un albero con n vertici ha n − 1 lati, e un grafo connesso con m lati mantiene un albero di copertura dopo aver tolto m − n + 1 lati.

Lemma delle strette di mano per un albero

L + 39 = 2(L + 11) − 2
L = 19

Risposta

L = 19

Scorciatoia: L = 2 + Σ (d − 2) sui vertici di grado d ≥ 3.

6.Teoria dei grafi

Risposta: W = 33

Cammini minimi e alberi di copertura: l’algoritmo di Dijkstra fissa un vertice per passo: il vertice non fissato con la distanza provvisoria minima. La sua distanza è allora definitiva, e ogni vertice adiacente v riceve d(v) = min(d(v), d(u) + w(u, v)). L’algoritmo di Kruskal costruisce un albero di copertura minimo prendendo i lati dal più leggero al più pesante e saltando ogni lato che chiuderebbe un ciclo; l’algoritmo di Prim fa crescere un solo albero da un vertice iniziale aggiungendo sempre il lato più leggero che ne esce. Un albero di copertura di n vertici ha n − 1 lati.

Algoritmo di Kruskal

DF (1): prendi
BD (4): prendi
BE (5): prendi
DE (7): salta, chiude un ciclo
EF (9): salta, chiude un ciclo
BC (11): prendi
AB (12): prendi

Peso totale

W = 1 + 4 + 5 + 11 + 12 = 33

Risposta

W = 33

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